Pavage d’une crédence de cuisine
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Lucie souhaite recouvrir une crédence rectangulaire au-dessus de son plan de travail. La crédence mesure $ 2{,}40 $ m de longueur et $ 1{,}20 $ m de hauteur.
Elle utilise des carreaux carrés tous identiques, de $ 20 $ cm de côté.
Partie A — Étude du pavage
- Justifier que les carreaux peuvent recouvrir entièrement la crédence sans trou ni superposition.
- Combien de carreaux entiers faudra-t-il pour couvrir la crédence ?
- Décrire les deux translations qui permettent, à partir d'un carreau donné, d'obtenir tous les carreaux du pavage.
- Expliquer pourquoi ce recouvrement est appelé un pavage.
Partie B — Achat des carreaux
Le magasin propose deux modes d'achat des carreaux :
- soit par boîtes de $ 10 $ carreaux à $ 38 $ € la boîte (les boîtes ne se vendent pas à l'unité fractionnée),
- soit à l'unité, à $ 4{,}25 $ € le carreau.
Lucie souhaite prévoir $ 5 $ carreaux supplémentaires en cas de casse.
- Combien de carreaux Lucie doit-elle prévoir au total ?
- Calculer le prix à payer si elle achète seulement des boîtes (en achetant au plus juste).
- Calculer le prix à payer si elle achète tous les carreaux à l'unité.
- Quelle solution est la plus économique ? Quelle est l'économie réalisée ?
Corrigé
Partie A
Convertissons toutes les longueurs dans la même unité : $ 2{,}40 $ m $ = 240 $ cm et $ 1{,}20 $ m $ = 120 $ cm.
On vérifie que la longueur et la hauteur de la crédence sont des multiples du côté du carreau :
$ 240 \div 20 = 12 $
$ 120 \div 20 = 6 $Les deux divisions tombent juste, donc on peut aligner $ 12 $ carreaux sur la longueur et $ 6 $ carreaux sur la hauteur, sans trou ni superposition.
Le nombre de carreaux nécessaires est :
$ N = 12 \times 6 = 72 $ carreauxIl faudra donc $ 72 $ carreaux entiers pour couvrir la crédence.
Tous les carreaux étant identiques, on passe d'un carreau à un carreau voisin par une translation. Deux translations suffisent :
- une translation horizontale de $ 20 $ cm vers la droite (pour passer d'un carreau au carreau immédiatement à sa droite),
- une translation verticale de $ 20 $ cm vers le haut (pour passer d'un carreau au carreau immédiatement au-dessus).
En combinant ces deux translations un certain nombre de fois, on obtient tous les autres carreaux du pavage à partir d'un carreau de référence.
- Le motif élémentaire (un carreau carré) est reproduit dans deux directions (horizontale et verticale) par des translations, et il recouvre toute la crédence sans trou ni superposition. C'est donc bien un pavage, conformément à la définition.
Partie B
Lucie a besoin de $ 72 $ carreaux pour le pavage et de $ 5 $ carreaux supplémentaires en réserve, soit :
$ 72 + 5 = 77 $ carreauxElle doit prévoir $ 77 $ carreaux.
Si elle achète des boîtes de $ 10 $ carreaux, il faut chercher le plus petit nombre de boîtes contenant au moins $ 77 $ carreaux.
$ 77 \div 10 = 7{,}7 $
Avec $ 7 $ boîtes, on n'a que $ 70 $ carreaux ; il en faudrait donc $ 8 $ pour couvrir les $ 77 $ carreaux nécessaires.
Prix : $ 8 \times 38 = 304 $ €
L'achat en boîtes coûterait $ 304 $ €.
Si elle achète $ 77 $ carreaux à l'unité :
Prix : $ 77 \times 4{,}25 = 327{,}25 $ €
L'achat à l'unité coûterait $ 327{,}25 $ €.
On compare : $ 304 $ € (boîtes) $ < 327{,}25 $ € (unité).
L'achat en boîtes est plus économique.
L'économie réalisée vaut :
$ 327{,}25 - 304 = 23{,}25 $ €Lucie économise $ 23{,}25 $ € en choisissant l'achat en boîtes (et il lui restera $ 8 \times 10 - 77 = 3 $ carreaux supplémentaires en plus de sa réserve).