Translation et parallélogramme
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Soient $ A $, $ B $ et $ D $ trois points du plan non alignés. On note $ C $ l'image du point $ B $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AD} $.
- Justifier l'égalité vectorielle $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $.
- Démontrer que le quadrilatère $ ABCD $ est un parallélogramme.
- On suppose que $ AB = 6 $ cm et $ AD = 9 $ cm. Calculer le périmètre du parallélogramme $ ABCD $.
- On note $ M $ le point d'intersection des diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $. Que représente $ M $ pour ces deux segments ? Justifier.
- Soit $ E $ l'image de $ M $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AD} $. Démontrer que $ \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{BC} $.
Corrigé
Par définition, $ C $ est l'image du point $ B $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AD} $. Or, dire qu'un point $ M' $ est l'image d'un point $ M $ par la translation de vecteur $ \vec{u} $ équivaut à $ \overrightarrow{MM'} = \vec{u} $.
On a donc bien $\mathbf{\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}}$.
On utilise la propriété : un quadrilatère $ ABCD $ est un parallélogramme si et seulement si $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $.
D'après la question 1, $ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} $.
Donc $ ABCD $ est un parallélogramme.
Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur :
$ AB = DC = 6 $ cm et $ AD = BC = 9 $ cm.Le périmètre vaut donc :
$ \mathcal{P} = AB + BC + CD + DA = 6 + 9 + 6 + 9 = 30 $ cmLe périmètre du parallélogramme $ ABCD $ est de $ 30 $ cm.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu.
Or $ ABCD $ est un parallélogramme, donc le point $ M $ est à la fois le milieu de la diagonale $ [AC] $ et le milieu de la diagonale $ [BD] $.
Le point $ M $ est le milieu commun des deux diagonales $ [AC] $ et $ [BD] $.
Le point $ E $ est l'image de $ M $ par la translation de vecteur $ \overrightarrow{AD} $.
Par définition de la translation : $ \overrightarrow{ME} = \overrightarrow{AD} $.
Or, d'après la question 1 : $ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} $.
Par transitivité, on en déduit que $\mathbf{\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{BC}}$.