Longueur d’une corde dans un cercle
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Sur un cercle de centre $O$ et de rayon $10$ cm, on trace une corde $[MN]$. On note $H$ le pied de la perpendiculaire à $(MN)$ passant par $O$. La distance $OH$ vaut $6$ cm.
- Justifier que le triangle $OHM$ est rectangle en $H$, puis calculer la longueur $HM$.
- On admet que la perpendiculaire à une corde passant par le centre du cercle coupe cette corde en son milieu. En déduire la longueur de la corde $[MN]$.
Corrigé
Par construction, la droite $(OH)$ est perpendiculaire à $(MN)$ et $H$ appartient à $(MN)$. Le triangle $OHM$ est donc rectangle en $H$.
L'hypoténuse de ce triangle est $[OM]$, qui est un rayon du cercle, donc $OM = 10$ cm.
D'après le théorème de Pythagore :
$OM^2 = OH^2 + HM^2$
$10^2 = 6^2 + HM^2$
$100 = 36 + HM^2$
$HM^2 = 100 - 36$
$HM^2 = 64$
$HM = \sqrt{64}$On obtient $HM = 8$ cm.
Comme $H$ est le pied de la perpendiculaire à la corde $[MN]$ passant par le centre $O$, $H$ est le milieu de $[MN]$. Donc :
$MN = 2 \times HM = 2 \times 8$La corde mesure $MN = 16$ cm.
Pour réviser : Calculer un côté de l'angle droit.