Côté oblique d’un trapèze rectangle
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$ABCD$ est un trapèze rectangle en $A$ et en $D$ (les angles $\widehat{DAB}$ et $\widehat{ADC}$ sont droits) tel que :
$AB = 8$ cm, $AD = 5$ cm et $DC = 12$ cm.
- Soit $H$ le pied de la perpendiculaire à $(DC)$ passant par $B$. Quelle est la nature du quadrilatère $ABHD$ ? Justifier puis en déduire $BH$ et $DH$.
- Calculer la longueur $HC$.
- En déduire la longueur $BC$. Donner une valeur approchée au millimètre.
Corrigé
Le quadrilatère $ABHD$ a quatre angles droits :
- $\widehat{DAB} = 90^{\circ}$ (donné par l'énoncé) ;
- $\widehat{ADH} = 90^{\circ}$ (donné par l'énoncé, $H$ est sur $(DC)$) ;
- $\widehat{BHD} = 90^{\circ}$ (par construction de $H$) ;
- le quatrième angle est donc également droit.
$ABHD$ est un quadrilatère qui possède quatre angles droits : c'est un rectangle.
Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur. Donc :
$BH = AD = 5$ cm
$DH = AB = 8$ cm- Le point $H$ appartient au segment $[DC]$. Donc :
$HC = DC - DH = 12 - 8 = 4$ cm Le triangle $BHC$ est rectangle en $H$. L'hypoténuse est $[BC]$.
D'après le théorème de Pythagore :
$BC^2 = BH^2 + HC^2$
$BC^2 = 5^2 + 4^2$
$BC^2 = 25 + 16$
$BC^2 = 41$
$BC = \sqrt{41}$À la calculatrice, $\sqrt{41} \approx 6{,}403$.
Arrondie au millimètre : $BC \approx 6{,}40$ cm.
Pour réviser : Calculer l'hypoténuse.