Calculer un angle manquant dans un triangle

Durée estimée

5 minutes

Difficulté

Dans le triangle $ABC$, on donne $\widehat{BAC} = 47^{\circ}$ et $\widehat{ABC} = 68^{\circ}$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BCA}$.
$DEF$ est un triangle isocèle en $D$ tel que $\widehat{EDF} = 52^{\circ}$. Calculer les mesures des angles $\widehat{DEF}$ et $\widehat{DFE}$.
$GHI$ est un triangle rectangle en $G$ tel que $\widehat{GHI} = 36^{\circ}$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{GIH}$.
Justifier qu'un triangle ne peut pas avoir simultanément deux angles mesurant $95^{\circ}$ et $87^{\circ}$.

Corrigé

Dans tout triangle, la somme des trois angles vaut $180^{\circ}$.

La somme des trois angles vaut $180^{\circ}$, donc :

$\widehat{BCA} = 180^{\circ} - 47^{\circ} - 68^{\circ}$

$\widehat{BCA} =$ $\mathbf{65^{\circ}}$.
Le triangle $DEF$ est isocèle en $D$, donc les angles à la base sont de même mesure :
$\widehat{DEF} = \widehat{DFE}$.
La somme des trois angles vaut $180^{\circ}$ :
$\widehat{DEF} + \widehat{DFE} = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$
$\widehat{DEF} = \widehat{DFE} = \dfrac{128^{\circ}}{2}$ = $\mathbf{64^{\circ}}$.
Le triangle $GHI$ est rectangle en $G$, donc $\widehat{IGH} = 90^{\circ}$.
$\widehat{GIH} = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 36^{\circ}$
$\widehat{GIH} =$ $\mathbf{54^{\circ}}$.
Si un triangle avait deux angles mesurant $95^{\circ}$ et $87^{\circ}$, leur somme vaudrait déjà $95^{\circ} + 87^{\circ} = 182^{\circ}$, ce qui dépasse $180^{\circ}$.
La somme des trois angles d'un triangle valant $180^{\circ}$, un tel triangle ne peut pas exister.

Pour réviser : Calculer un angle dans un triangle.