Dimensions d’un rectangle à partir de son périmètre
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Un jardinier souhaite délimiter un potager rectangulaire. Il dispose de $ 76 $ m de grillage qu'il veut utiliser entièrement pour clôturer le tour du potager. La longueur du potager doit mesurer $ 8 $ m de plus que le double de sa largeur.
On note $ x $ la largeur du potager (en mètres). Exprimer en fonction de $ x $ :
- la longueur du potager ;
- le périmètre du potager.
- Écrire l'équation traduisant le fait que ce périmètre est égal à $ 76 $ m.
- Résoudre cette équation.
- En déduire la largeur, la longueur, puis l'aire du potager.
- Le jardinier compare avec un autre potager carré ayant le même périmètre. Quelle serait la longueur du côté de ce carré ? Son aire est-elle plus grande ou plus petite que celle du potager rectangulaire ?
Corrigé
- La longueur mesure $ 8 $ m de plus que le double de la largeur, donc elle est égale à $ 2x + 8 $.
- Le périmètre d'un rectangle est égal à $ 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur}) $, donc :
$ P = 2(x + 2x + 8) = 2(3x + 8) = 6x + 16 $
Le périmètre vaut $ 76 $ m, donc l'équation est :
$ 6x + 16 = 76 $- On résout l'équation $ 6x + 16 = 76 $.
On soustrait $ 16 $ aux deux membres :
$ 6x = 60 $
On divise les deux membres par $ 6 $ :
$ x = 10 $
La solution est $ 10 $. La largeur est $ 10 $ m et la longueur est $ 2 \times 10 + 8 = $ $ 28 $ m.
L'aire du potager est :
$ A = 10 \times 28 = 280 $
L'aire vaut $ 280 $ m².Vérification : $ 2 \times (10 + 28) = 2 \times 38 = 76 $ m. C'est correct.
Le périmètre du carré est aussi $ 76 $ m, donc la longueur de son côté est :
$ c = \dfrac{76}{4} = 19 $
Le côté du carré mesure $ 19 $ m.Son aire est :
$ A' = 19 \times 19 = 361 $
L'aire du carré est $ 361 $ m², donc elle est plus grande que celle du potager rectangulaire ($ 280 $ m²).
Pour réviser : Mettre un problème en équation