Décomposition en facteurs premiers de trois entiers

1. On divise successivement par les nombres premiers :
   $ 234 = 2 \times 117 $
   $ 117 = 3 \times 39 $
   $ 39 = 3 \times 13 $
   $ 13 $ est premier.

   D'où $\mathbf{234 = 2 \times 3^2 \times 13}$.

2. $ 825 $ est impair, on essaie $ 3 $. Somme : $ 8 + 2 + 5 = 15 $, divisible par $ 3 $.
   $ 825 = 3 \times 275 $
   $ 275 $ se termine par $ 5 $, divisible par $ 5 $ : $ 275 = 5 \times 55 $.
   $ 55 = 5 \times 11 $
   $ 11 $ est premier.

   D'où $\mathbf{825 = 3 \times 5^2 \times 11}$.

3. $ 1\,176 $ est pair :
   $ 1\,176 = 2 \times 588 $
   $ 588 = 2 \times 294 $
   $ 294 = 2 \times 147 $
   $ 147 $ est impair. Somme : $ 1 + 4 + 7 = 12 $, divisible par $ 3 $ : $ 147 = 3 \times 49 $.
   $ 49 = 7 \times 7 $.

   D'où $\mathbf{1\,176 = 2^3 \times 3 \times 7^2}$.

1. La décomposition de $ 18 $ est $ 18 = 2 \times 3^2 $. Or $ 234 = 2 \times 3^2 \times 13 = 18 \times 13 $.

   Oui, $ 234 $ est un multiple de $ 18 $ (c'est $ 18 \times 13 $).

2. La décomposition de $ 15 $ est $ 15 = 3 \times 5 $. Or $ 825 = 3 \times 5^2 \times 11 = (3 \times 5) \times (5 \times 11) = 15 \times 55 $.

   Oui, $ 825 $ est un multiple de $ 15 $ (c'est $ 15 \times 55 $).

Comme $ 6 = 2 \times 3 $, on a :

$ 1\,176 \times 6 = 2^3 \times 3 \times 7^2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^2 \times 7^2 $

Tous les exposants sont pairs : $ 1\,176 \times 6 = (2^2 \times 3 \times 7)^2 = 84^2 = 7\,056 $.

Le produit $ 1\,176 \times 6 $ est donc un carré parfait.

Pour qu'un produit $ 1\,176 \times k $ soit un carré, il faut que tous les exposants de la décomposition soient pairs. Dans $ 1\,176 = 2^3 \times 3 \times 7^2 $, les exposants impairs concernent $ 2 $ (exposant $ 3 $) et $ 3 $ (exposant $ 1 $). Il faut donc multiplier au minimum par $ 2 \times 3 = 6 $.

Le plus petit entier $ k $ convenant est $ k = 6 $, et l'on a alors $ 1\,176 \times 6 = 84^2 $.