QCM Bilan : Suites et matrices
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Entraînement
Ce QCM bilan couvre l'ensemble du chapitre : suites de matrices colonnes, suites couplées, chaînes de Markov et distribution invariante. Choisir la bonne réponse parmi les quatre propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $U_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix}$ avec $U_{n+1} = A\,U_n$. Quelle est l'expression de $U_n$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2\times 3^n \\ 8\times 2^n \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 2\times 3^n \\ 8\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 3^n \\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix}$
Question 2 : On considère la chaîne de Markov de matrice $P = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ avec $X_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$. Que vaut $X_2$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}$
Question 3 : Soit la suite définie par $U_{n+1} = A\,U_n + C$ avec $A = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Que vaut le point fixe $L$ ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
Question 4 : Pour $P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$, quelle est la distribution invariante ?
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$
- (Correct) $\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \end{pmatrix}$
- (Incorrect) $\begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}75 \end{pmatrix}$
Question 5 : Soit $P$ la matrice de transition d'une chaîne de Markov à $3$ états. Combien de coefficients indépendants suffit-il pour la déterminer entièrement ?
- (Incorrect) $9$
- (Incorrect) $3$
- (Correct) $6$
- (Incorrect) $2$
Question 6 : Soit $P$ une matrice de transition à coefficients tous strictement positifs. La suite $\left(X_n\right)$ converge vers la distribution invariante $X$. Cette limite dépend-elle de la distribution initiale $X_0$ ?
- (Incorrect) Oui, fortement.
- (Correct) Non, elle est indépendante de $X_0$.
- (Incorrect) Cela dépend de la matrice $P$, pas de $X_0$.
- (Incorrect) Cela dépend du nombre d'étapes considérées.