Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Fonction logarithme népérien Exercices

Sujet 0 – Logarithme et exponentielle

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

On considère les fonctions $ f_k $ définies sur $ \mathbb{R} $ par $ f_k(x) = x + ke^{ - x} $, où $ k $ est un réel strictement positif.

  1. On s’intéresse dans cette question au cas $ k = 0{,}5 $, donc à la fonction $ f_{0{,}5} $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f_{0{,}5}(x) = x + 0{,}5e^{ - x} $.

    1. Montrer que la dérivée de $ f_{0{,}5} $, notée $ f^{\prime}_{0{,}5} $, vérifie $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) = 1 - 0{,}5e^{ - x} $.
    2. Montrer que la fonction $ f_{0{,}5} $ admet un minimum en $ \ln(0{,}5) $.

    Soit $ k $ un réel strictement positif. On donne le tableau de variations de la fonction $ f_k $.

    Bac spé sujet 0 tableau de variations

  2. Montrer que pour tout réel positif $ k $, $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + 1 $

    On note $ C_k $ la courbe représentative de la fonction $ f_k $ dans un plan muni d’un repère orthonormé. On note $ A_k $ le point de la courbe $ C_k $ d’abscisse $ \ln(k) $. On a représenté ci-dessous quelques courbes $ C_k $ pour différentes valeurs de $ k $.

    Bac 2024 sujet 0 logarithme exponentielle
  3. Indiquer si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. Justifier la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

    « Pour tout réel $ k $ strictement positif, les points $ A_{0{,}5} $, $ A_1 $ et $ A_k $ sont alignés. »

Corrigé

    1. Calculons la dérivée de $ f_{0{,}5} $ :

      La dérivée de $ x $ est 1, et la dérivée de $ 0{,}5e^{ - x} $ est :

      $ (0{,}5e^{ - x})^{\prime} = 0{,}5 \times ( - e^{ - x}) = - 0{,}5e^{ - x} $

      Donc, la dérivée de $ f_{0{,}5}(x) $ est :

      $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) = 1 - 0{,}5e^{ - x} $
    2. Pour déterminer les points où la dérivée s'annule, nous résolvons l'équation $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) = 0 $ :

      $ 1 - 0{,}5e^{ - x} = 0 $

      $ 0{,}5e^{ - x} = 1 $

      $ e^{ - x} = 2 $

      $ - x = \ln(2) $

      $ x = - \ln(2) = \ln(0{,}5) $

      Par ailleurs :
    3. Pour $ x < \ln(0{,}5) $, $ e^{ - x} > 2 $ donc $ 1 - 0{,}5e^{ - x} < 0 $.
    4. Pour $ x > \ln(0{,}5) $, $ e^{ - x} < 2 $ donc $ 1 - 0{,}5e^{ - x} > 0 $.

      La dérivée $ f^{\prime}_{0{,}5}(x) $ change de signe de négatif à positif pour $ x = \ln(0{,}5) $, donc $ f_{0{,}5} $ admet un minimum en $ x = \ln(0{,}5) $.
  2. Calculons $ f_k(\ln(k)) $ :

    $ f_k(x) = x + ke^{ - x} $

    Remplaçons $ x $ par $ \ln(k) $ :

    $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k e^{ - \ln(k)} $

    Nous savons que $ e^{ - \ln(k)} = \dfrac{1}{e^{\ln(k)}} = \dfrac{1}{k} $, donc :

    $ f_k(\ln(k)) = \ln(k) + k \times \dfrac{1}{k} = \ln(k) + 1 $

  3. Considérons les points $ A_{0{,}5} $, $ A_1 $ et $ A_k $ :

    • $ A_{0{,}5} $ a pour coordonnées $ \left(\ln(0{,}5); \ln(0{,}5) + 1 \right) $.
    • $ A_1 $ a pour coordonnées $ \left(\ln(1); \ln(1) + 1 \right) = \left(0, 1 \right) $.
    • $ A_k $ a pour coordonnées $ \left(\ln(k); \ln(k) + 1 \right) $.

    On remarque facilement que les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation de la droite $ y = x + 1 $ ; ils sont donc alignés sur la droite d'équation $ y = x + 1 $.

    L'affirmation est donc vraie.