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$ n $ et $ p $ désignent deux entiers naturels tels que $ p \leqslant n $.
À partir de la formule $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{ n! }{ p!(n - p)! } $ :
- Montrer que $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n \\ n - p \end{pmatrix} $
- Montrer que $ \begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} $
- Montrer que $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}= \dfrac{ n }{ p } \times \begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} $
Corrigé
- D'après la formule $ \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} = \dfrac{ n! }{ p!(n - p)! } $ :
$ \begin{aligned}\begin{pmatrix} n \\ n - p \end{pmatrix} &=\dfrac{n!}{\left( n - p\right) !\left( n - \left( n - p\right) \right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{\left( n - p\right)!\ p!}\\ \\ &=\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}\end{aligned} $ - De même :
$ \begin{aligned}\begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix} &=\dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - 1 - \left( p - 1\right) \right) !}+\dfrac{\left( n - 1\right) !}{p!\left( n - p - 1\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - p\right) !}+\dfrac{\left( n - 1\right) !}{p!\left( n - p - 1\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !p}{p\left( p - 1\right) !\left( n - p\right) !} +\dfrac{\left( n - 1\right) !\left( n - p\right) }{p!\left( n - p - 1\right) !\left( n - p\right) }\end{aligned} $
or $ (n - p)!=(n - p)(n - p - 1)! $ et $ p!=p(p - 1)! $ donc :
$ \begin{aligned}\begin{pmatrix} n - 1 \\ p - 1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} n - 1 \\ p \end{pmatrix} &=\dfrac{\left( n - 1\right) !p+\left( n - 1\right) !\left( n - p\right) }{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !\left( p+n - p\right) }{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{\left( n - 1\right) !n}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix} \end{aligned} $ - Enfin :
$ \begin{aligned}\dfrac{n}{p}\times \begin{pmatrix}n - 1 \\ p - 1\end{pmatrix} &=\dfrac{n}{p}\times \dfrac{\left( n - 1\right) !}{\left( p - 1\right) !\left( n - 1 - \left( p - 1\right) \right) !}\\ \\ &=\dfrac{n\left( n - 1\right) !}{p\left( p - 1\right)! \left( n - p\right) !}\\ \\ &=\dfrac{n!}{p!\left( n - p\right) !}\\ \\ &= \begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}\end{aligned} $