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Solides - Volumes Exercices

Cuboctaèdre

Durée estimée
25 minutes
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Objectifs travaillés

On considère un cube $ ABCDEFGH $ de $ 10 $ cm d'arête. Soient $ I $ le milieu de $ [AB] $, $ J $ celui de $ [BC] $ et $ K $ celui de $ [BF] $.

Cuboctaèdre
    1. Calculer $ IJ $.
    2. Démontrer que $ IJK $ est un triangle équilatéral, puis calculer son aire.
    3. Calculer le volume de la pyramide $ BIJK $ ; en déduire, en centimètres, la hauteur issue de $ B $ de cette pyramide.

  2. A partir des 8 sommets du cube, on peut former 8 pyramides, comme cela a été fait à partir du sommet $ B $. Après avoir découpé ces 8 pyramides, on obtient un nouveau solide, appelé cuboctaèdre.

    1. Soit $ M $ le milieu de $ [AE] $ et $ N $ celui de $ [EF] $. Quelle est la nature du quadrilatère $ MNKI $?

      Calculer l'aire de ce quadrilatère.
    2. Donner une description du cuboctaèdre : nombre et nature des faces, nombre de sommets et d'arêtes.

      Si S, A et F sont respectivement le nombre de sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre, la formule d'Euler affirme que : S+F=A+2

      La formule d'Euler est-elle vérifiée ?
    3. Dessiner un patron du cuboctaèdre.
    4. A partir du volume du cube, calculer le volume du cuboctaèdre.

      Calculer le rapport entre ces 2 volumes ?

Corrigé

    1. Comme $ I $ et $ J $ sont les milieux de $ [AB] $ et $ [BC] $, on a $ BI = BJ = \dfrac{10}{2} = 5 $ cm. Le triangle $ BIJ $ est rectangle en $ B $, donc d'après le théorème de Pythagore :

      $ IJ^2 = BI^2 + BJ^2 = 5^2 + 5^2 = 50, \quad \text{donc} \quad IJ = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\, \text{cm}. $

    2. De la même façon, $ BK = 5 $ cm et les triangles $ BIK $ et $ BJK $ sont rectangles en $ B $ avec des côtés de l'angle droit égaux à $ 5 $ cm. On obtient donc $ IK = JK = 5\sqrt{2} $ cm. Comme $ IJ = JK = KI = 5\sqrt{2} $ cm, le triangle $ IJK $ est équilatéral.

      L'aire d'un triangle équilatéral de côté $ a $ vaut $ \dfrac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 $. Avec $ a = 5\sqrt{2} $ :

      $ \mathscr{A}(IJK) = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times (5\sqrt{2})^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 50 = 12{,}5\sqrt{3} \approx 21{,}65\, \text{cm}^2. $

    3. On prend pour base le triangle $ BIJ $, rectangle en $ B $, dont l'aire est $ \dfrac{5 \times 5}{2} = 12{,}5\, \text{cm}^2 $. L'arête $ [BK] $, de longueur $ 5 $ cm, est perpendiculaire au plan $ (BIJ) $ et constitue donc la hauteur de la pyramide relative à cette base :

      $ V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{A}(BIJ) \times BK = \dfrac{1}{3} \times 12{,}5 \times 5 = \dfrac{62{,}5}{3} \approx 20{,}83\, \text{cm}^3. $

      En prenant cette fois pour base le triangle $ IJK $ et en notant $ h $ la hauteur issue de $ B $, le volume s'écrit aussi $ V = \dfrac{1}{3} \times \mathscr{A}(IJK) \times h $. On en déduit :

      $ h = \dfrac{3V}{\mathscr{A}(IJK)} = \dfrac{62{,}5}{12{,}5\sqrt{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2{,}89\, \text{cm}. $

    1. Les points $ M $, $ N $, $ K $ et $ I $ sont les milieux de quatre arêtes de la face $ ABFE $. Chaque côté du quadrilatère joint deux milieux d'arêtes consécutives : $ MN = NK = KI = IM = 5\sqrt{2} $ cm (mêmes calculs de Pythagore que précédemment). Les quatre côtés sont égaux, et les diagonales $ [MK] $ et $ [NI] $ mesurent toutes deux $ 10 $ cm. Un quadrilatère dont les côtés sont égaux et les diagonales de même longueur est un carré.

      Son aire est :

      $ \mathscr{A}(MNKI) = (5\sqrt{2})^2 = 50\, \text{cm}^2. $

    2. Le cuboctaèdre possède $ 8 $ faces triangulaires (les sections équilatérales aux $ 8 $ coins) et $ 6 $ faces carrées (au centre de chaque face du cube), soit $ F = 14 $ faces. Il a $ S = 12 $ sommets (les milieux des $ 12 $ arêtes du cube) et $ A = 24 $ arêtes.

      Vérifions la formule d'Euler $ S + F = A + 2 $ :

      $ S + F = 12 + 14 = 26 \quad \text{et} \quad A + 2 = 24 + 2 = 26. $

      La formule d'Euler est bien vérifiée.

    3. Patron :

      Cuboctaèdre Patron

    4. Le cube a pour volume $ V_{\text{cube}} = 10^3 = 1\,000\, \text{cm}^3 $. On retire les $ 8 $ pyramides identiques à $ BIJK $, chacune de volume $ \dfrac{62{,}5}{3}\, \text{cm}^3 $ :

      $ V_{\text{cuboctaèdre}} = 1\,000 - 8 \times \dfrac{62{,}5}{3} = 1\,000 - \dfrac{500}{3} = \dfrac{2\,500}{3} \approx 833{,}33\, \text{cm}^3. $

      Le rapport entre le volume du cuboctaèdre et celui du cube est :

      $ \dfrac{V_{\text{cuboctaèdre}}}{V_{\text{cube}}} = \dfrac{2\,500/3}{1\,000} = \dfrac{2\,500}{3\,000} = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83. $