Losange dans un triangle
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$ ABC $ est un triangle quelconque tel que $ AB = 7 $cm, $ AC= 5 $cm et $ BC = 4 $cm.
$ M $ est un point du segment $ \left[ BC \right] . $
La parallèle à la droite $ \left( AB \right) $ passant par $ M $ coupe le côté $ [AC] $ en $ N. $
La parallèle à la droite $ \left( AC \right) $ passant par $ M $ coupe le côté $ [AB] $ en $ P. $
- À quelle distance du point $ C $ faut-il placer le point $ M $ pour que le quadrilatère $ APMN $ soit un losange ?
- Sans utiliser le résultat de la question précédente, construire le point $ M $ à l'aide d'une règle non graduée et d'un compas.
Corrigé
On sait déjà que $ APMN $ est un parallélogramme car les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AP \right) $ sont parallèles ainsi que les droites $ \left( MP \right) et \left( AN \right). $
Pour que ce soit un losange il faut et il suffit que $ MN = MP. $
Calculons $ MP $ puis $ MN $ en utilisant le théorème de Thalès :
Calcul de $ MP $
Posons $ x = MC. $
On a alors :
$ BM = BC -MC = 4 -x $Les droites $ \left( MP \right) $ et $ \left( AC \right) $ sont parallèles ; les points $ B, M, C $ et les points $ B, P, A $ sont alignés.
Donc, d'après le théorème de Thalès :
$ \dfrac{ BM }{ BC } = \dfrac{ MP }{ AC } = \dfrac{ BP }{ AB } $La première égalité donne :
$ \dfrac{ 4-x }{ 4 } = \dfrac{ MP }{ 5 } $
donc, avec un produit en croix :
$ 4 MP = 5 \left( 4-x \right) $
$ MP = \dfrac{ 5 \left( 4-x \right) }{ 4 }. $
Calcul de MN
De même, les droites $ \left( MN \right) $ et $ \left( AB \right) $ sont parallèles et les points $ C, M, B $ et $ C, N, A $ sont alignés.
Par conséquent :
$ \dfrac{ CM }{ BC } = \dfrac{ MN }{ AB } = \dfrac{ CN }{ CA } $L'égalité des deux premiers quotients équivaut à :
$ \dfrac{ x }{ 4 } = \dfrac{ MN }{ 7 } $
soit : $ 4 MN = 7x $
$ MN = \dfrac{ 7x }{ 4 }. $- Conclusion
$ APMN $ est donc un losange si et seulement si :
$ MP = MN $
$ \dfrac{ 5(4-x) }{ 4 } = \dfrac{ 7x }{ 4 } $
$ 5 \left( 4 -x \right) = 7x $
$ 20 -5x = 7x $
$ 20 = 7x + 5x $
$ 12x = 20 $
$ x = \dfrac{ 5 }{ 3 } $
Il faut placer le point $ M $ à $ \dfrac{ 5 }{ 3 } $cm ( $ \approx 1{,}67 $ cm) de $ C $ pour que le quadrilatère $ APMN $ soit un losange.
Les diagonales d'un losange sont des axes de symétrie de ce losange.
Donc, si $ APMN $ est un losange, la droite $ \left( AM \right) $ est un axe de symétrie donc une bissectrice de l'angle $ \widehat{ PAN } $ qui est aussi l'angle $ \widehat{ BAC }. $
Pour placer le point $ M $, il suffit donc de construire au compas la bissectrice de l'angle $ \widehat{ BAC }. $
$ M $ est alors le point d'intersection de cette bissectrice avec le côté $ \left[ BC \right] $ :
