Différents types de nombres

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Compléter le tableau ci-dessous avec les symboles $ \in $ ou $ \notin $ :

	$ \mathbb{N} $	$ \mathbb{Z} $	$ \mathbb{D} $	$ \mathbb{Q} $	$ \mathbb{R} $
$ - 2 $	$ \notin $	$ \in $
$ \dfrac{6}{3} $
$ \sqrt{3} $
$ - \dfrac{3}{5} $
$ \dfrac{5}{7} $
$ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2 $
$ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) $

Par exemple : $ - 2 \notin \mathbb{N} $ et $ - 2 \in \mathbb{Z}. $

Corrigé

	$ \mathbb{N} $	$ \mathbb{Z} $	$ \mathbb{D} $	$ \mathbb{Q} $	$ \mathbb{R} $
$ - 2 $	$ \notin $	$ \in $	$ \in $	$ \in $	$ \in $
$ \dfrac{6}{3} $	$ \in $	$ \in $	$ \in $	$ \in $	$ \in $
$ \sqrt{3} $	$ \notin $	$ \notin $	$ \notin $	$ \notin $	$ \in $
$ - \dfrac{3}{5} $	$ \notin $	$ \notin $	$ \in $	$ \in $	$ \in $
$ \dfrac{5}{7} $	$ \notin $	$ \notin $	$ \notin $	$ \in $	$ \in $
$ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2 $	$ \notin $	$ \notin $	$ \notin $	$ \notin $	$ \in $
$ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) $	$ \in $	$ \in $	$ \in $	$ \in $	$ \in $

Explications :

Les ensembles de nombres sont placés en ordre croissant ; donc lorsqu'un nombre appartient à un ensemble, il appartient nécessairement aux ensembles suivants.
Tous les nombres présents sont des nombres réels.
$ \dfrac{6}{3}=2 \in \mathbb{N} $
$ \sqrt{3} $ n'est pas un nombre rationnel donc $ \sqrt{3} \notin \mathbb{Q} $ ; par contre, comme tous les autres nombres de ce tableau, $ \sqrt{3} \in \mathbb{R}. $
$ - \dfrac{3}{5}= - 0,6 \in \mathbb{D}. $
$ \dfrac{5}{7} $ n'est pas un nombre décimal car son écriture décimale est illimitée.
$ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2 $ se développe grâce à l'identité remarquable :

$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab+b^2 $

On obtient alors :

$ \left(\sqrt{2} - 1\right)^2= \sqrt{2}^2 - 2\sqrt{2}+1^2 =2 - 2\sqrt{2}+1=3 - 2\sqrt{2} $

Ce n'est pas un nombre rationnel car $ \sqrt{2} $ est irrationnel.
$ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right) $ se développe grâce à l'identité remarquable :

$ (a - b)(a+b) = a^2 - b^2 $

Cela donne ici :

$ \left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)= \sqrt{3}^2 - \sqrt{2}^2 =3 - 2=1 \in \mathbb{N} $