Fiche de révision BAC : les nombres complexes

Réponses

1. Quelle est la forme algébrique d'un nombre complexe ? Quelle est la partie réelle ? La partie imaginaire ?

   La forme algébrique d'un nombre complexe $ z $ est $ z=x+iy $ (ou $ z=a+ib $...) où $ x $ et $ y $ sont deux réels. $ x $ est la partie réelle de $ z $ et $ y $ sa partie imaginaire.

2. Qu'est-ce que le conjugué d'un nombre complexe ?

   Le conjugué de $ z=x+iy $ est le nombre complexe $ \overline{z}=x - iy $.

3. Comment représente-t-on graphiquement un nombre complexe ?

   Dans un repère orthonormé, on représente le nombre complexe $ z=x+iy $ par le point $ M(x~;~y) $.
   On dit que $ M $ est l'image de $ z $ et que $ z $ est l'affixe de $ M $.

4. Qu'est-ce que le module et un argument d'un nombre complexe ? Comment s'interprètent-ils graphiquement  ?

   Si le plan est rapporté au repère $ (O~;~\vec{u},~\vec{v}) $, le module de $ z $ d'image $ M $ est la distance $ OM $ :
   $ |z|=OM=\sqrt{x^2+y^2} $

   Un argument $ \theta $ de $ z $ (pour $ z $ non nul) est une mesure, en radians, de l'angle $ ( \vec{u}~;~\overrightarrow{OM}) $.
   On a $ \cos \theta = \dfrac{x}{|z|} $ et $ \sin \theta = \dfrac{y}{|z|} $

5. Quelles sont les propriétés des conjugués, des modules et des arguments (produit, etc…) ?

   $ z $, $ z_1 $, $ z_2 $ désignent des nombres complexes quelconques et $ n $ un entier relatif. Conjugués :

   • $ \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1}+\overline{z_2} $
   • $ \overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\times \overline{z_2} $
   • $ \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} $ (si $ z_2\neq 0 $)
   • $ \overline{\left(z^{n}\right)} = \left(\overline{z}\right)^{n} $.

   Modules :

   • $ |z_1z_2| = |z_1|\times |z_2| $
   • $ |\dfrac{z_1}{z_2}| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} $ (si $ z_2\neq 0 $)
   • $ |z_1+z_2| \leqslant |z_1| + |z_2| $ (inégalité triangulaire)

   Arguments :

   • $ \text{arg}\left(\overline{z}\right)= - \text{arg}\left(z\right) $
   • $ \text{arg}\left(z_1z_2\right)=\text{arg}\left(z_1\right)+\text{arg}\left(z_2\right) $
   • $ \text{arg}\left(z^{n}\right)=n\times \text{arg}\left(z\right) $
   • $ \text{arg}\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\text{arg}\left(z_1\right) - \text{arg}\left(z_2\right) $

6. Comment obtient-on la forme trigonométrique d'un nombre complexe ? La forme exponentielle ?

   La forme trigonométrique d'un nombre complexe $ z $ de module $ r $ et dont un argument est $ \theta $ est :
   $ z=r(\cos \theta + i \sin \theta) $.

   La forme exponentielle est : $ z=r\text{e}^{i\theta} $

7. Comment s'obtient la distance $ AB $ à partir des affixes des points $ A $ et $ B $ ?

   Si $ A $ et $ B $ ont pour affixes respectives $ z_A $ et $ z_B $ : $ AB=\left|z_B - z_A\right| $

8. Quels sont les arguments possibles pour un nombre réel ? un nombre imaginaire pur ?

   Un nombre réel non nul a pour argument $ 0~(\text{mod.}~2\pi) $ (s'il est positif) ou $ \pi~(\text{mod.}~2\pi) $ (s'il est négatif). Un nombre imaginaire pur non nul a pour argument $ \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) $ (si sa partie imaginaire est positive) ou $ - \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) $ (si sa partie imaginaire est négative)

9. Quelles sont, dans $ \mathbb{C} $, les solutions de l'équation $ az^2+bz+c=0 $ ?

   Si $ \Delta $ est positif ou nul, on retrouve les solutions réelles.
   Si $ \Delta $ est strictement négatif, l'équation possède deux solutions conjuguées :
   $ z_{1}=\dfrac{ - b - i\sqrt{ - \Delta }}{2a} $
   $ z_{2}=\dfrac{ - b+i\sqrt{ - \Delta }}{2a} $.

   Rappels de collège utiles pour certains exercices portant sur les nombres complexes.

   $ A $ et $ B $ désignent des points du plan.

10. Quel est l'ensemble des points $ M $ tels que $ AM=BM $ ?

    L'ensemble des points $ M $ tels que $ AM=BM $ est la médiatrice du segment $ [AB] $.

11. Quel est l'ensemble des points $ M $ tels que $ AM=k $ (où $ k $ est un réel donné) ?

    L'ensemble des points $ M $ tels que $ AM=k $ est :

    • le cercle de centre $ A $ et de rayon $ k $ si $ k > 0 $
    • le point $ A $ si $ k = 0 $
    • l'ensemble vide si $ k < 0 $

12. Quel est l'ensemble des points $ M $ tels que $ (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) $ ?

    l'ensemble des points $ M $ tels que $ (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB})=\pm \dfrac{\pi}{2}~(\text{mod.}~2\pi) $ est le cercle de diamètre $ [AB] $ privé des points $ A $ et $ B $ (pour lesquels l'angle $ (\overrightarrow{MA}~;~\overrightarrow{MB}) $ n'est pas défini).