Congruences – Puissances de 2 et de 3

Partie A

1. On a $ n^2 \geqslant 0 $ donc $ n^2+9 \geqslant 9 $. Comme $ 2^3=8 $ et $ 2^4=16 $, on en déduit que $ 2^m \geqslant 2^4 $ donc $ m \geqslant 4 $.
   Puisque $ m \geqslant 4 $, $ m \geqslant 1 $ donc $ 2^m $ est un nombre pair.
   $ n^2+9 $ est donc pair.
   Comme $ 9 $ est impair, $ n^2 $ doit être impair (car impair + impair = pair).
   Si le carré d'un entier est impair, alors cet entier est lui-même impair.
   Donc $ n $ est impair.

2. Comme $ m \geqslant 4 $, $ 2^m $ est divisible par $ 2^2=4 $, donc $ 2^m \equiv 0 \pmod 4 $.
   On a alors $ n^2+9 \equiv 0 \pmod 4 $.

   Or $ 9 = 2 \times 4 + 1 $ donc $ 9 \equiv 1 \pmod 4 $.

   L'équation devient :

   $ n^2 + 1 \equiv 0 \pmod 4 $

   $ n^2 \equiv -1 \pmod 4 $

   $ n^2 \equiv 3 \pmod 4 $

3. Tableau de congruences modulo 4 :

   $ n \equiv \ \ (\text{mod. 4}) $	0	1	2	3
   $ n^2 \equiv \ \ (\text{mod. 4}) $	$ 0 $	$ 1 $	$ 0 $	$ 1 $

4. D'après le tableau précédent, pour tout entier $ n $, $ n^2 $ est congru à $ 0 $ ou à $ 1 $ modulo $ 4 $.
   Il n'existe donc pas d'entier $ n $ tel que $ n^2 \equiv 3 \pmod 4 $.
   Par conséquent, il n'existe pas de valeur de $ n $ telle que $ n^2+9 $ soit une puissance de $ 2 $.

Partie B

1. On a $ n^2+9 \geqslant 9 $ donc $ 3^m \geqslant 9 = 3^2 $, ce qui implique $ m \geqslant 2 $.
   $ 3^m $ est une puissance de $ 3 $, donc c'est un nombre impair.

   $ n^2+9 $ est donc impair.

   Comme $ 9 $ est impair, $ n^2 $ doit être pair.
   Si le carré d'un entier est pair, alors cet entier est lui-même pair.

   Donc $ n $ est pair.

2. On sait que $ 3 \equiv -1 \pmod 4 $.

   Donc $ 3^m \equiv (-1)^m \pmod 4 $.

   D'autre part, $ n $ est pair, donc $ n=2k $ pour un certain entier $ k $.
   $ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 $, donc $ n^2 $ est divisible par $ 4 $.
   $ n^2 \equiv 0 \pmod 4 $.
   L'égalité $ n^2+9=3^m $ devient modulo $4$ :

   $ 0 + 1 \equiv (-1)^m \pmod 4 $

   $ 1 \equiv (-1)^m \pmod 4 $
   Si $ m $ était impair, on aurait $ (-1)^m = -1 \equiv 3 \pmod 4 $.
   Or $ 3 \not\equiv 1 \pmod 4 $.
   Donc $ m $ est nécessairement pair.

3. Puisque $ m $ est pair, on peut poser $ m=2k $ avec $ k $ entier.
   L'équation s'écrit $ n^2+9 = 3^{2k} $.
   Or $ 3^{2k} = (3^k)^2 $.
   On a donc :

   $ 9 = (3^k)^2 - n^2 $

   $ 9 = (3^k - n)(3^k + n) $

4. On cherche les diviseurs de $ 9 $ dans $ \mathbb{Z} $.

   Comme $ n $ est un entier naturel et $ k \geqslant 1 $, $ 3^k+n $ est un entier positif.

   Le produit $ (3^k - n)(3^k + n) $ valant 9, $ 3^k-n $ est aussi positif.

   De plus, comme $ n \geqslant 0 $, on a $ 3^k+n \geqslant 3^k-n $.

   Les paires possibles de diviseurs positifs de 9 sont donc :

   • $ 3^k-n=1 $ et $ 3^k+n=9 $
   • $ 3^k-n=3 $ et $ 3^k+n=3 $

   Testons ces cas :

   • Premier cas :
     $ \begin{cases} 3^k-n=1 \\ 3^k+n=9 \end{cases} $
     
     En additionnant les deux équations : $ 2 \times 3^k = 10 $, soit $ 3^k = 5 $.
     
     Ce n'est pas possible car $ 5 $ n'est pas une puissance de $ 3 $.
   • Deuxième cas :
     $ \begin{cases} 3^k-n=3 \\ 3^k+n=3 \end{cases} $
     
     En additionnant : $ 2 \times 3^k = 6 $, soit $ 3^k = 3 $, d'où $ k=1 $.
     
     En soustrayant : $ 2n = 0 $, soit $ n=0 $.

   On a trouvé une unique solution $ n=0 $.

   Vérification : Si $ n=0 $, $ n^2+9 = 9 = 3^2 $, c'est bien une puissance de $ 3 $.

   Conclusion : La seule valeur de $ n $ pour laquelle $ n^2+9 $ est une puissance de $ 3 $ est $ n=0 $.