Récurrence et encadrement

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1 \leqslant u_n \leqslant 2$.

Initialisation : $u_0 = 1$ donc $1 \leqslant u_0 \leqslant 2$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons que $1 \leqslant u_n \leqslant 2$ pour un certain entier naturel $n$ (hypothèse de récurrence). Alors :
$3 \leqslant u_n + 2 \leqslant 4$
La fonction racine carrée étant croissante sur $[0;+\infty[$ :
$\sqrt{3} \leqslant \sqrt{u_n + 2} \leqslant \sqrt{4}$
c'est-à-dire $\sqrt{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$.

Comme $1 \leqslant \sqrt{3}$, on obtient finalement :
$1 \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$
La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $\mathbf{1 \leqslant u_n \leqslant 2}$.

On calcule les premières valeurs de $u_n$ (arrondies à $10^{-2}$ près) :

On conjecture que la suite $(u_n)$ est croissante. Montrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_n$.

Initialisation : $u_0 = 1$ et $u_1 = \sqrt{3} \approx 1{,}73$ donc $u_1 \geqslant u_0$. La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons que $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour un certain entier naturel $n$ (hypothèse de récurrence). Alors :
$u_{n+1} + 2 \geqslant u_n + 2$
La fonction racine carrée étant croissante sur $[0;+\infty[$ :
$\sqrt{u_{n+1} + 2} \geqslant \sqrt{u_n + 2}$
c'est-à-dire $u_{n+2} \geqslant u_{n+1}$.
La propriété est donc héréditaire.

Conclusion : D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} \geqslant u_n$. La suite $(u_n)$ est donc croissante.