Continuité - dérivées - convexité
Exercices
TVI – Algorithme de dichotomie
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Soit la fonction $ f $ définie sur l'intervalle $ I=[ - 4\ ; \ 4] $ par $ f(x)=x^3 - 6x+1 $.
Partie I
- Justifier que $ f $ est dérivable sur $ I $ et calculer $ f^{\prime}(x) $ pour $ x $ appartenant à $ I $.
- Tracer le tableau de variations de $ f $.
- Montrer que l'équation $ f(x)=0 $ admet une unique solution $ \alpha $ sur l'intervalle $ [0~;~1] $.
Partie II
On souhaite déterminer une valeur approchée de $ \alpha $ grâce à l'algorithme de dichotomie suivant :
Variables $ a, b, m, h $ sont des nombres Initialisation Lire $ a $ Lire $ b $ Lire $ h $ Traitement Tant que $ b - a > h $ : $ \quad $Affecter à $ m $ la valeur $ \dfrac{a+b}{2} $ $ \quad $Si $ f(a) \times f(m) > 0 $, alors $ \quad \quad $Affecter à $ a $ la valeur $ m $ $ \quad $Sinon $ \quad \quad $Affecter à $ b $ la valeur $ m $ $ \quad $Fin Si Fin Tant que Sortie Afficher $ a $ Afficher $ b $ Compléter le tableau suivant obtenu pour la fonction $ f $ définie ci-dessus et les valeurs $ a=0;\ b=1;\ h=0,1 $ (on ajoutera autant de lignes que nécessaire).
$ a $ $ b $ $ h $ $ b - a > h $ $ m $ $ f(a) \times f(m) > 0 $ 0 1 0,1 vrai 0,5 faux 0 0,5 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... - Quelles valeurs obtient-on en sortie de cet algorithme ? Que représentent ces valeurs ?
- Que représentent chacun des nombres $ a, b, m, h $ dans cet algorithme ?
Corrigé
Partie I
- $ f $ étant une fonction polynomiale, elle est dérivable (et donc continue) sur $ \mathbb{R} $ et a fortiori sur $ I $.
On a $ f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6 = 3(x^2 - 2) = 3(x+\sqrt{2})(x - \sqrt{2}) $.
$ f^{\prime}(x) = 0 $ pour $ x_1 = -\sqrt{2} $ et $ x_2 = \sqrt{2} $.
$ f^{\prime} $ étant un polynôme du deuxième degré dont le coefficient de $ x^2 $ est positif, elle est strictement positive sur $ ]-\infty ; -\sqrt{2}[ $, strictement négative sur $ ]-\sqrt{2} ; \sqrt{2}[ $ et strictement positive sur $ ]\sqrt{2} ; +\infty[ $. Tableau de variations de $ f $ sur l'intervalle $ I $ :
- $ f(x) $ est strictement décroissante sur $ [-\sqrt{2} \ ; \ \sqrt{2}] $ c'est à dire environ $ [-1{,}414 \ ; \ 1{,}414] $, intervalle auquel appartiennent $ x = 0 $ et $ x = 1 $.
On a $ f(0) = 1 > 0 $ et $ f(1) = 1^3-6(1)+1 = -4 < 0 $.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il en résulte qu'il existe une unique solution $ \alpha $ pour l'équation $ f(x) = 0 $ sur $ [0 \ ; \ 1] $.
Partie II
Algorithme de dichotomie pour déterminer une valeur approchée de $ \alpha $ :
$ a $ $ b $ $ h $ $ b - a > h $ $ m $ $ f(a) \times f(m) > 0 $ 0 1 0,1 vrai 0,5 faux 0 0,5 0,1 vrai 0,25 faux 0 0,25 0,1 vrai 0,125 vrai 0,125 0,25 0,1 vrai 0,1875 faux 0,125 0,1875 0,1 faux - En sortie d'algorithme, on obtient les valeurs $ a = 0{,}125 $ et $ b = 0{,}1875 $.
L'algorithme s'arrête dès que $ b - a \leqslant h $, ce qui garantit que $ a $ et $ b $ encadrent $ \alpha $ avec une amplitude $ b - a $ inférieure ou égale à $ h = 0{,}1 $ (ici $ b - a = 0{,}0625 $). $ a $ et $ b $ sont donc une valeur approchée de $ \alpha $ respectivement par défaut et par excès. - $ a $ et $ b $ représentent respectivement les estimations inférieure et supérieure ($ a < b $) de $ \alpha $. Elles convergent et se rapprochent de $ \alpha $ à chaque étape de l'algorithme. Ce dernier s'arrêtant lorsque la différence $ b - a $ est inférieure ou égale à une valeur fixée à l'avance, ici $ h = 0{,}1 $. À chaque étape de l'algorithme, une nouvelle valeur de $ m = (a + b)/2 $ est calculée et est attribuée à $ a $ si $ f(a) \times f(m) > 0 $ et à $ b $ dans le cas contraire, ce qui assure la convergence de $ a $ et $ b $ vers $ \alpha $.