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Nombre dérivé - Fonction dérivée Exercices

Intersections de tangentes

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $ \left(O; \vec{i}, \vec{j}\right) $.

$ P $ est la parabole d'équation $ y=x^{2} $

$ D_{m} $ est la droite d'équation $ 8mx - 4y+1=0 $ où $ m\in \mathbb{R} $

  1. Montrer que pour tout $ m\in \mathbb{R} $, $ P $ et $ D_{m} $ se coupent en deux points distincts $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
    1. Calculer les coordonnées du point d'intersection $ I_{m} $ des tangentes à la courbe $ P $ aux points $ A_{m} $ et $ B_{m} $.
    2. Quel est l'ensemble des points $ I_{m} $ lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ ?

Corrigé

  1. $ M\left(x;y\right) $ est un point d'intersection de $ P $ et de $ D_{m} $ si et seulement si :

    $ \begin{cases} y=x^{2} \\8mx - 4y+1=0 \end{cases} $

    On remplace $ y $ par $ x^2 $ dans la seconde équation :

    $ 8mx - 4x^{2}+1=0 $

    $ - 4x^{2}+8mx+1=0 $

    $ \Delta =\left(8m\right)^{2} - 4 \times ( - 4) \times 1=64m^{2}+16 $

    $ \Delta $ est strictement positif donc l'équation a deux solutions distinctes :

    $ x_{1}=\dfrac{ - 8m+\sqrt{64m^{2}+16}}{ - 8}=\dfrac{ - 8m+4\sqrt{4m^{2}+1}}{ - 8}=m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} $

    $ x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} $

    On a alors $ y_{1}=x_{1}^{2} $ et $ y_{2}=x_{2}^{2} $

    $ P $ et $ D_{m} $ se coupent donc en deux points distincts $ A_m\left( m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2} \right) $ et $ B_m\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2} ; \left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}\right) $

    1. $\ $

      Intersections de tangentes
      Cas $ m=1 $

      Comme $ f\left(x\right)=x^{2} $, $ f^{\prime}\left(x\right)=2x $.

      L'équation de la tangente à la parabole en $ A_{m} $ a pour équation :

      $ y=f^{\prime}\left(x_{1}\right)\left(x - x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right) $

      c'est à dire

      $ y=2x_{1}\left(x - x_{1}\right)+x_{1}^{2} $

      $ y=2x_{1}x - x_{1}^{2} $

      De même, l'équation de la tangente à la parabole en $ B_{m} $ a pour équation :

      $ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} $

      Pour trouver les coordonnées de l'intersection $ I_{m} $ on résout le système :

      $ \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ y=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right. $

      Par substitution, il est équivalent à :

      $ \left\{ \begin{matrix} y=2x_{1}x - x_{1}^{2} \\ 2x_{1}x+x_{1}^{2}=2x_{2}x - x_{2}^{2} \end{matrix}\right. $

      La deuxième équation donne successivement :

      $ 2x_{1}x - 2x_{2}x=x_{1}^{2} - x_{2}^{2} $

      $ 2\left(x_{1} - x_{2}\right)x=\left(x_{1} - x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right) $

      $ 2x=x_{1}+x_{2} $

      or $ x_{1}+x_{2}=m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}+m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=2m $

      donc l'équation devient :

      $ 2x=2m $ c'est à dire $ x=m $.

      En remplaçant $ x $ par $ m $ dans la première équation du système on obtient :

      $ y=2mx_{1} - x_{1}^{2}=x_{1}\left(2m - x_{1}\right) $

      $ y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(2m - m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right) $

      $ y=\left(m+\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)\times \left(m - \dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right) $

      C'est une identité remarquable :

      $ y=m^{2} - \left(\dfrac{\sqrt{4m^{2}+1}}{2}\right)^{2}=m^{2} - \dfrac{4m^{2}+1}{4}=\dfrac{4m^{2} - 4m^{2} - 1}{4}= - \dfrac{1}{4} $

      Les coordonnées de $ I_{m} $ sont donc $ \left(m; - \dfrac{1}{4}\right) $.

    2. Lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ l'abscisse de $ I_{m} $ décrit $ \mathbb{R} $ tandis que son ordonnée est constante et égale à $ - \dfrac{1}{4} $.

      L'ensemble des points $ I_{m} $ lorsque $ m $ décrit $ \mathbb{R} $ est donc la droite d'équation $ y= - \dfrac{1}{4} $