Espérance mathématique maximale

1. Pour ne pas surcharger la figure, seules les probabilités utilisées lors des questions suivantes ont été indiquées.

   
   • Au premier niveau (tirage de la première boule), l'urne contient $ n $ boules blanches sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc $ \dfrac{n}{3n} = \dfrac{1}{3} $.
     
     L'urne contient $ 2n $ boules rouges sur un total de $ 3n $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $ \dfrac{2n}{3n} = \dfrac{2}{3} $.

   • Au second niveau (tirage de la seconde boule) :

     • Si l'on a tiré une boule blanche en premier , il reste alors $ n - 1 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 1}{3n - 1} $.
     • ...
     • Si l'on a tiré une boule rouge en premier , il reste alors $ 2n - 1 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 1 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 1}{3n - 1} $.

   • Au troisième niveau (tirage de la troisième boule) :

     • Si l'on a tiré deux boules blanches lors des deux premiers tirages, il reste alors $ n - 2 $ boules blanches sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule blanche est donc alors $ \dfrac{n - 2}{3n - 2} $.
     • ...
     • Si l'on a tiré deux boules rouges lors des deux premiers tirages, il reste alors $ 2n - 2 $ boules rouges sur un total de $ 3n - 2 $ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc alors $ \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $.

2. $ X $ prend la valeur -16 si les trois boules sont blanches, c'est à dire avec une probabilité :

   $ p(X= - 16)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{n - 2}{3n - 2} $

   $ p(X= - 16)=\dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ X $ prend la valeur 2 si les trois boules sont rouges, c'est à dire avec une probabilité :

   $ p(X=2)=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{2n - 1}{3n - 1} \times \dfrac{2n - 2}{3n - 2} $

   $ p(X=2)=\dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   Dans les autres cas $ X $ prend la valeur $ 0 $.

   Le total des probabilités étant égal à $ 1 $ on obtient :

   $ p(X=0)=1 - p(X= - 16) - p(X=2) $

   $ p(X=0)=1 - \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} - \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ p(X=0)=\dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $

   La loi de probabilité de $ X $ est donc :

   $ x_i $	$ - 16 $	$ 0 $	$ 2 $
   $ p(X=x_i) $	$ \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $	$ \dfrac{6n^2 - 4n}{(3n - 1)(3n - 2)} $	$ \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   L'espérance mathématique de $ X $ est :

   $ E(X)= - 16\times p(X= - 16)+0 \times p(X=0)+2 \times p(X=2) $

   $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{(n - 1)(n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{2(2n - 1)(2n - 2)}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ \phantom{E(X)}= - 16\times \dfrac{n^2 - 3n+2}{3(3n - 1)(3n - 2)} + 2 \times \dfrac{8n^2 - 12n+4}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ \phantom{E(X)}=\dfrac{24n - 24}{3(3n - 1)(3n - 2)} $

   $ \phantom{E(X)}=\dfrac{8(n - 1)}{(3n - 1)(3n - 2)} $

3. 1. La fonction $ f $ est définie et dérivable sur $ \left[1;+\infty \right[ $.

      $ f $ est de la forme $ \dfrac{u}{v} $ avec

      $ u(x)=x - 1 $ donc $ u ^{\prime}(x)=1 $

      $ v(x)=(3x - 1)(3x - 2)=9x^2 - 9x+2 $ donc $ v^{\prime}(x) = 18x - 9 $

      Par conséquent :

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{9x^2 - 9x+2 - (x - 1)(18x - 9)}{(3x - 1)(3x - 2))^2} $

      $ f^{\prime}(x)=\dfrac{ - 9x^2+18x - 7}{((3x - 1)(3x - 2))^2} $

      Le dénominateur est positif et le numérateur est un polynôme du second degré.

      $ \Delta = 18^2 - 4 \times 7 \times 9=72 > 0 $

      Le numérateur admet deux racines :

      $ x_1 = \dfrac{ - 18+6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3 - \sqrt{2}}{3} $

      $ x_2 = \dfrac{ - 18 - 6\sqrt{2}}{ - 18}= \dfrac{3+\sqrt{2}}{3} $

      $ x_1 $ est inférieur à $ 1 $ et $ x_2 \approx 1{,}47 \in \left[1;+\infty \right[ $.

      On obtient le tableau de variations suivant sur $ \left[1;+\infty \right[ $ :

      
   2. D'après la question 2., $ E(X)=8f(n) $
      
      L'espérance mathématique est donc maximale pour la valeur de $ n $ qui maximise $ f(n) $.
      
      D'après la question précédente $ f $ est décroissante sur $ \left[x_2;+\infty\right[ $ donc sur $ \left[2;+\infty\right[ $ puisque $ x_2 < 2 $.
      
      Les seules valeurs entières susceptibles de maximiser $ f $ sont donc $ 1 $ ou $ 2 $.
      
      Or $ f(1)=0 $ et $ f(2)=\dfrac{1}{20} $.
      
      Donc, l'espérance mathématique est maximale pour $ n=2 $ c'est à dire si l'urne contient $ 2 $ boules blanches et $ 4 $ boules rouges.
      
      Cette espérance vaut alors $ E(X)=8f(2)=\dfrac{8}{20}=0{,}4 $

Pour réviser : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire