Modéliser un jeu de hasard par une variable aléatoire
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Pour analyser un jeu de hasard à l'aide d'une variable aléatoire :
- Étape 1 : définir clairement la variable aléatoire $X$ : c'est en général le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la somme reçue moins la mise.
- Étape 2 : déterminer toutes les valeurs $x_i$ que peut prendre $X$ (un cas par scénario possible : gain, perte, rien).
- Étape 3 : calculer la probabilité $p(X = x_i)$ de chaque scénario.
- Étape 4 : présenter la loi sous forme de tableau et vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.
Étape 5 : calculer $E(X)$ et conclure :
- $E(X) > 0$ : jeu favorable au joueur ;
- $E(X) = 0$ : jeu équitable ;
- $E(X) < 0$ : jeu défavorable au joueur.
Remarque
Pour qu'un jeu soit considéré comme équitable, l'espérance du gain algébrique du joueur doit être nulle. Sur un grand nombre de parties, le joueur ne gagne ni ne perd en moyenne.
Jeu de la roue
Une roue est divisée en $10$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $10$. Le joueur paie $3\,€$ pour faire tourner la roue. S'il obtient $10$, il reçoit $20\,€$ ; s'il obtient un multiple de $5$ différent de $10$ (donc $5$), il reçoit $5\,€$ ; sinon, il ne reçoit rien. Étudier ce jeu.
Étape 1 : $X$ = gain algébrique du joueur (en euros).
Étape 2 : valeurs possibles :
- obtenir $10$ : gain $20 - 3 = 17\,€$ ;
- obtenir $5$ : gain $5 - 3 = 2\,€$ ;
- autre cas : gain $0 - 3 = -3\,€$.
Donc $X \in \{-3 \, ; \, 2 \, ; \, 17\}$.
Étape 3 : probabilités (équiprobabilité sur les $10$ secteurs) :
Étape 4 : tableau de la loi :
| $x_i$ | $-3$ | $2$ | $17$ |
| $p(X = x_i)$ | $\dfrac{8}{10}$ | $\dfrac{1}{10}$ | $\dfrac{1}{10}$ |
Vérification : $\dfrac{8 + 1 + 1}{10} = 1$.
Étape 5 : espérance :
$E(X) = -3 \times \dfrac{8}{10} + 2 \times \dfrac{1}{10} + 17 \times \dfrac{1}{10}$
$E(X) = \dfrac{-24 + 2 + 17}{10} = \dfrac{-5}{10}$
$E(X) < 0$ : le jeu est défavorable au joueur. En moyenne, il perd $0{,}5\,€$ par partie.
Rendre un jeu équitable
On reprend le jeu précédent. À combien faut-il fixer la mise pour que le jeu devienne équitable ?
Étape 1 : on note $m$ la nouvelle mise. La variable $X$ devient :
- $X = 20 - m$ avec probabilité $\dfrac{1}{10}$ ;
- $X = 5 - m$ avec probabilité $\dfrac{1}{10}$ ;
- $X = -m$ avec probabilité $\dfrac{8}{10}$.
Étape 2 : espérance en fonction de $m$ :
$E(X) = (20 - m) \times \dfrac{1}{10} + (5 - m) \times \dfrac{1}{10} + (-m) \times \dfrac{8}{10}$
$E(X) = \dfrac{20 - m + 5 - m - 8m}{10} = \dfrac{25 - 10m}{10} = 2{,}5 - m$
Étape 3 : résoudre $E(X) = 0$ :
Pour rendre le jeu équitable, l'organisateur doit fixer la mise à $2{,}50\,€$.
Attention
Pièges fréquents :
- Confondre gain perçu (somme reçue) et gain algébrique (somme reçue moins mise) : l'analyse d'un jeu se fait toujours sur le gain algébrique.
- Oublier le scénario « ne rien gagner » dans la liste des valeurs prises par $X$ : il correspond à une perte sèche égale à la mise.
- Conclure trop vite « le jeu est équitable » sur la base du gain potentiel maximal au lieu de l'espérance.