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Théorème de Pythagore - Trigonométrie Exercices

Trigonométrie – Brevet Métropole 2014

Durée estimée
15 minutes
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Objectifs travaillés

(D'après Brevet Métropole Juin 2014)

Exercice 6 - 6 points

Pour savoir si les feux de croisement de sa voiture sont réglés correctement, Pauline éclaire un mur vertical comme l'illustre le dessin suivant :

Trigonométrie - Brevet Métropole 2014

Pauline réalise le schéma ci-dessous (qui n'est pas à l'échelle) et relève les mesures suivantes :

$ PA = 0{,}65 $m, $ AC = QP = 5 $m et $ CK = 0{,}58 $m

Brevet Métropole 2014

Pour que l'éclairage d'une voiture soit conforme, les constructeurs déterminent l'inclinaison du faisceau. Cette inclinaison correspond au rapport $ \dfrac{QK}{QP} $. Elle est correcte si ce rapport est compris entre 0,01 et 0,015.

  1. Vérifier que les feux de croisement de Pauline sont réglés avec une inclinaison de 0,014.
  2. Donner une mesure de l'angle $ \widehat{QPK} $ correspondant à l'inclinaison. On arrondira au dixième de degré.
  3. Quelle est la distance $ AS $ d'éclairage de ses feux ? Arrondir le résultat au mètre près.

Corrigé

  1. On commence par calculer $ QK $.

    Le point $ Q $ est sur le mur à la même hauteur que le phare $ P $, donc $ QC = PA = 0{,}65 $m.
    Le point $ K $ est sur le mur à hauteur $ CK = 0{,}58 $m.

    Comme $ K $ est en dessous de $ Q $ :
    $ QK = QC - CK = 0{,}65 - 0{,}58 = 0{,}07 $m

    On calcule l'inclinaison :
    $ \dfrac{QK}{QP} = \dfrac{0{,}07}{5} = 0{,}014 $

    L'inclinaison est bien de 0,014. Elle est comprise entre 0,01 et 0,015, donc les feux sont correctement réglés.

  2. Dans le triangle $ QPK $ rectangle en $ Q $ :

    Par rapport à l'angle $ \widehat{QPK} $ :

    • $ [QK] $ est le côté opposé ($ QK = 0{,}07 $m)
    • $ [QP] $ est le côté adjacent ($ QP = 5 $m)

    On utilise la tangente :
    $ \tan(\widehat{QPK}) = \dfrac{QK}{QP} = \dfrac{0{,}07}{5} = 0{,}014 $

    A la calculatrice :
    $ \widehat{QPK} = \tan^{-1}(0{,}014) \approx 0{,}8^{\circ} $

  3. Le faisceau lumineux part du phare $ P $ et arrive au sol en $ S $, en passant par $ K $.

    L'angle d'inclinaison du faisceau par rapport à l'horizontale est $ \widehat{QPK} $.
    Dans le triangle $ PAS $ rectangle en $ A $, l'angle en $ P $ entre l'horizontale et le faisceau est le même angle.

    On a :
    $ \tan(\widehat{QPK}) = \dfrac{PA}{AS} $

    On isole $ AS $ :
    $ AS = \dfrac{PA}{\tan(\widehat{QPK})} = \dfrac{0{,}65}{0{,}014} $
    $ AS \approx 46 $ m

    La distance d'éclairage des feux de Pauline est d'environ 46 m.