Th. de Pythagore (Brevet Nouvelle-Calédonie 2013)

1. Montrons que le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $ en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore.
   
   $ AC^{2}=5^{2}=25 $
   Comme $ C $ est le milieu de $ \left[BD\right] $, $ BC=CD=3 $; par conséquent :
   $ AB^{2}+BC^{2}=4^{2}+3^{2}=16+9=25 $
   $ AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} $ donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ ABC $ est rectangle en $ B $.
   
   (Remarque : Ce triangle n'est pas isocèle car $ AB=4 $ et $ BC=3 $.)
2. L'angle $ \widehat{ABC} $ est un angle droit d'après la question précédente. Comme les points $ A, B $ et $ E $ sont alignés, l'angle $ \widehat{DBE} $ est également un angle droit donc le triangle $ BDE $ est rectangle en $ B $.
   
   (Remarque : Ce triangle n'est pas isocèle car $ BD=6 $ et $ BE=7 $.)
3. $ BD=2\times CD=6 $
   
   D'après le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ BDE $ :
   $ DE^{2}=BD^{2}+BE^{2} $
   $ DE^{2}=6^{2}+7^{2} $
   $ DE^{2}=36+49 $
   $ DE^{2}=85 $
   $ DE=\sqrt{85} $
   $ DE\approx 9{,}2 $ au dixième près.

Pour réviser : Calculer une longueur avec le théorème de Pythagore