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Suites et récurrence Exercices

Algorithmes – Bac S Amérique du Nord 2014

Durée estimée
25 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Un volume constant de $2\,200 \text{ m}^3$ d'eau est réparti entre deux bassins $A$ et $B$.
Le bassin $A$ refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique, on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes.

On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante :

  • au départ, le bassin $A$ contient $800 \text{ m}^3$ d'eau et le bassin $B$ contient $1\,400 \text{ m}^3$ d'eau ;
  • tous les jours, $15~\%$ du volume d'eau présent dans le bassin $B$ au début de la journée est transféré vers le bassin $A$ ;
  • tous les jours, $10~\%$ du volume d'eau présent dans le bassin $A$ au début de la journée est transféré vers le bassin $B$.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $a_n$ le volume d'eau, exprimé en $\text{m}^3$, contenu dans le bassin $A$ à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ;
  • $b_n$ le volume d'eau, exprimé en $\text{m}^3$, contenu dans le bassin $B$ à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement.

On a donc $a_0 = 800$ et $b_0 = 1\,400$.

  1. Par quelle relation entre $a_n$ et $b_n$ traduit-on la conservation du volume total d'eau du circuit ?
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_n + 330$.

  3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_n$ est supérieur ou égal à $1\,100$.
    Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes.

    Variables $n$ est un entier naturel
      $a$ est un réel
    Initialisation Affecter à $n$ la valeur $0$
      Affecter à $a$ la valeur $800$
    Traitement Tant que $a < 1\,100$, faire :
      $\quad$ Affecter à $a$ la valeur ...
      $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
      Fin Tant que
    Sortie Afficher $n$

  4. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n = a_n - 1\,320$.

    1. Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $a_n = 1\,320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.
    3. On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau. Proposer une méthode pour répondre à ce questionnement.

Corrigé

  1. Le volume total étant conservé, pour tout entier naturel $n$ :

    $a_n + b_n = 2\,200$

  2. Chaque jour, le bassin $A$ perd $10~\%$ de son volume et reçoit $15~\%$ de celui de $B$. On a donc :
    $a_{n+1} = a_n - \dfrac{10}{100} a_n + \dfrac{15}{100} b_n = 0{,}9 \, a_n + 0{,}15 \, b_n$
    Or $b_n = 2\,200 - a_n$, donc :
    $a_{n+1} = 0{,}9 \, a_n + 0{,}15 \,(2\,200 - a_n) = 0{,}9 \, a_n - 0{,}15 \, a_n + 330 = 0{,}75 \, a_n + 330$
    On obtient bien, pour tout entier naturel $n$ :

    $a_{n+1} = \dfrac{3}{4} a_n + 330$

  3. Algorithme complété :

    Variables $n$ est un entier naturel
      $a$ est un réel
    Initialisation Affecter à $n$ la valeur $0$
      Affecter à $a$ la valeur $800$
    Traitement Tant que $a < 1\,100$, faire :
      $\quad$ Affecter à $a$ la valeur $0{,}75 \times a + 330$
      $\quad$ Affecter à $n$ la valeur $n + 1$
      Fin Tant que
    Sortie Afficher $n$
    1. Pour tout entier naturel $n$, $u_n = a_n - 1\,320$, donc $u_0 = 800 - 1\,320 = -520$.
      D'autre part :
      $u_{n+1} = a_{n+1} - 1\,320 = \dfrac{3}{4} a_n + 330 - 1\,320 = \dfrac{3}{4} a_n - 990$
      $u_{n+1} = \dfrac{3}{4}(a_n - 1\,320) = \dfrac{3}{4} u_n$
      La suite $(u_n)$ est donc géométrique de premier terme $u_0 = -520$ et de raison $q = \dfrac{3}{4}$.

    2. D'après ce qui précède, pour tout entier naturel $n$ :

      $u_n = -520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$

      Et comme $a_n = u_n + 1\,320$ :

      $a_n = 1\,320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$
    3. Les bassins ont le même volume d'eau lorsque $a_n = b_n$, c'est-à-dire $a_n = 1\,100$ (puisque $a_n + b_n = 2\,200$). Cherchons $n$ tel que :
      $1\,320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 1\,100$
      $\left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \dfrac{220}{520} = \dfrac{11}{26}$
      En passant au logarithme, on obtient $n = \dfrac{\ln(11/26)}{\ln(3/4)} \approx 2{,}99$.
      Il n'existe pas d'entier $n$ vérifiant exactement l'égalité. On teste alors $n = 3$ :
      $a_3 = 1\,320 - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^3 = 1\,320 - 520 \times \dfrac{27}{64} = 1\,320 - 219{,}375 = 1\,100{,}625$
      Donc $b_3 = 2\,200 - a_3 \approx 1\,099{,}375$.
      Au mètre cube près, $a_3 \approx 1\,101$ et $b_3 \approx 1\,099$ : les deux bassins ne sont pas strictement égaux au mètre cube, mais l'écart est minimal au troisième jour, et n'est retrouvé à aucun autre rang (la suite $(a_n)$ est strictement croissante vers $1\,320$).