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Suites et récurrence Exercices

Suites et récurrence – Bac S Métropole 2009

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.

  1. On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_{n+1} = \dfrac{1}{3} u_n + 4$.

    On pose, pour tout nombre entier naturel $n$, $v_n = u_n - 6$.

    1. Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
    2. Démontrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, $u_n = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$.
    3. Étudier la convergence de la suite $(u_n)$.

  2. On considère la suite $(w_n)$ dont les termes vérifient, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$ :

    $n\, w_n = (n + 1)\, w_{n-1} + 1$ et $w_0 = 1$

    Le tableau suivant donne les dix premiers termes de cette suite.

    $w_0$ $w_1$ $w_2$ $w_3$ $w_4$ $w_5$ $w_6$ $w_7$ $w_8$ $w_9$
    1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
    1. Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.

    2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

      Donner la nature de la suite $(w_n)$. Calculer $w_{2009}$.

Corrigé

On traite successivement les deux questions indépendantes.

    1. On exprime $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ :
      $v_{n+1} = u_{n+1} - 6 = \dfrac{1}{3} u_n + 4 - 6 = \dfrac{1}{3} u_n - 2$
      Or $u_n = v_n + 6$, donc :
      $v_{n+1} = \dfrac{1}{3}(v_n + 6) - 2 = \dfrac{1}{3} v_n + 2 - 2 = \dfrac{1}{3} v_n$
      La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 6 = -5$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ :
      $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$
      On en déduit :
      $u_n = v_n + 6 = -5 \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + 6$
    3. Comme $-1 < \dfrac{1}{3} < 1$, $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = 0$.
      Par somme de limites, $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 6$.
      La suite $(u_n)$ converge donc vers $6$.
    1. En appliquant la relation pour $n = 10$ : $10\, w_{10} = 11\, w_9 + 1 = 11 \times 19 + 1 = 210$.
      D'où $w_{10} = \dfrac{210}{10} = 21$.

    2. Le tableau suggère que $(w_n)$ est arithmétique de raison $2$ et de premier terme $1$, c'est-à-dire $w_n = 2n + 1$ pour tout entier naturel $n$.
      Démontrons-le par récurrence. Soit $P_n$ la propriété : « $w_n = 2n + 1$ ».

      Initialisation : $w_0 = 1 = 2 \times 0 + 1$, donc $P_0$ est vraie.

      Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier naturel $n$ fixé : $w_n = 2n + 1$.
      Pour $n + 1 \geqslant 1$, la relation donne $(n + 1)\, w_{n+1} = (n + 2)\, w_n + 1 = (n + 2)(2n + 1) + 1$.
      On développe : $(n + 2)(2n + 1) + 1 = 2n^2 + n + 4n + 2 + 1 = 2n^2 + 5n + 3$.
      On factorise $2n^2 + 5n + 3 = (n + 1)(2n + 3)$ (on vérifie en développant).
      Ainsi $(n + 1)\, w_{n+1} = (n + 1)(2n + 3)$.
      Comme $n + 1 \neq 0$, on obtient $w_{n+1} = 2n + 3 = 2(n + 1) + 1$. $P_{n+1}$ est vraie.

      Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $w_n = 2n + 1$.
      La suite $(w_n)$ est arithmétique de premier terme $1$ et de raison $2$.
      On en déduit : $w_{2009} = 2 \times 2009 + 1 = 4019$.