[Bac] Étude de fonction et calcul d’aire

(D'après bac ES 2005) Soit $ f $ la fonction définie sur l'intervalle $ \left[0;+\infty \right[ $ par :

.

On note $ \left(C\right) $ la courbe représentative de la fonction $ f $ dans un repère orthogonal et $ \left(D\right) $ la droite d'équation $ y=x - 2 $. La courbe $ \left(C\right) $ est partiellement représentée ci-dessous.

1. Déterminer la limite de la fonction $ f $ en $ +\infty $.

2. On pose $ \alpha =2 \ln 5 $.

   1. Montrer que $ f\left(\alpha \right)=\alpha $.
   2. Donner une valeur approchée à $ 10^{ - 1} $ près de $ \alpha $

3. On admet que la fonction $ f $ est dérivable sur l'intervalle $ \left[0;+\infty \right[ $ et on note $ f^{\prime} $ la fonction dérivée de $ f $ sur cet intervalle.

   1. Calculer $ f^{\prime}\left(x\right) $, pour tout $ x $ élément de l'intervalle $ \left[0;+\infty \right[ $.
   2. Étudier le signe de $ f^{\prime}\left(x\right) $ sur l'intervalle $ \left[0;+\infty \right[ $, et dresser le tableau de variations complet de la fonction $ f $ sur cet intervalle

4. Justifier que $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f\left(x\right) - \left(x - 2\right)=0 $ et que, pour tout $ x $ de l'intervalle $ \left[0;+\infty \right[ $:

   $ f\left(x\right) - \left(x - 2\right) > 0 $

   .

   Donner l'interprétation graphique de ces résultats.

5. Sur le graphique donné ci-dessous :

   1. Placer le point de la courbe $ \left(C\right) $ d'abscisse $ \alpha $;
   2. Tracer la tangente à la courbe $ \left(C\right) $ au point d'abscisse $ \alpha $;
   3. Tracer la droite $ \left(D\right) $

6. On note $ A $ l'aire (en unités d'aire) du domaine $ E $ délimité par la courbe $ \left(C\right) $, la droite $ \left(D\right) $ et les droites d'équations respectives $ x=2 $ et $ x=6 $.

   1. Hachurer sur le graphique, le domaine $ E $, puis exprimer l'aire $ A $ à l'aide d'une expression faisant intervenir une intégrale.
   2. Déterminer la valeur exacte de l'aire $ A $, puis en donner la valeur arrondie au centième.

Corrigé

Attention : Comme l'a indiqué un internaute (merci à lui !), il y a une erreur dans le corrigé de la question 6 due à une mauvaise lecture de l'énoncé (l'aire hachurée et calculée n'est pas délimitée par la droite $ \left(D\right) $ comme demandé dans l'énoncé).

Une solution correcte sera mise en ligne prochainement.