Primitive d’une fonction rationnelle (signe et primitive)

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Soit $ f $ la fonction définie sur $ I=\left]3;+\infty \right[ $ par :

$ f\left(x\right)=\dfrac{x^{2} - 6x+8}{\left(x - 3\right)^{2}} $

Étudier le signe de $ f $ sur $ I $.
Montrer que pour tout $ x \in I $ :

$ f\left(x\right)=1 - \dfrac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} $
En déduire une primitive de $ f $ sur $ I $.

Corrigé

Le dénominateur de $ f\left(x\right) $ est toujours strictement positif sur I.

$ f\left(x\right) $ est donc du signe du numérateur qui est un trinôme du second degré dont les racines sont 2 et 4 (calculez $ \Delta $...)

Le tableau de signe de $ f $ est :
$ 1 - \dfrac{1}{\left(x - 3\right)^{2}}=\dfrac{\left(x - 3\right)^{2} - 1}{\left(x - 3\right)^{2}}=\dfrac{x^{2} - 6x+9 - 1}{\left(x - 3\right)^{2}}=\dfrac{x^{2} - 6x+8}{\left(x - 3\right)^{2}} $
$ - \dfrac{1}{\left(x - 3\right)^{2}} $ est de la forme $ - \dfrac{u^{\prime}\left(x\right)}{u\left(x\right)^{2}} $ avec $ u\left(x\right)=x - 3 $. Une primitive $ F $ de $ f $ est donc :

$ F\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x - 3} $

(Toutes les primitives de $ f $ sont de la forme $ F\left(x\right)=x+\dfrac{1}{x - 3}+C $ avec $ C\in \mathbb{R} $)