Calculs trigonométriques
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$ a $ désigne un réel quelconque. Calculer :
$ A=\sin\left(a\right)+\sin\left(a+\dfrac{2\pi }{3}\right)+\sin\left(a+\dfrac{4\pi }{3}\right) $
Corrigé
On utilise la formule d'addition $ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b $.
On calcule $ \sin\left(a+\dfrac{2\pi}{3}\right) $ en utilisant $ \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} $ et $ \sin \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $ :
$ \sin\left(a+\dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin a \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \cos a \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a $
On calcule $ \sin\left(a+\dfrac{4\pi}{3}\right) $ en utilisant $ \cos \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} $ et $ \sin \dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} $ :
$ \sin\left(a+\dfrac{4\pi}{3}\right) = \sin a \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) + \cos a \times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}\sin a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a $
On additionne les trois termes :
$ A = \sin a + \left(-\dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right) + \left(-\dfrac{1}{2}\sin a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right) $
$ A = \sin a - \dfrac{1}{2}\sin a - \dfrac{1}{2}\sin a + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos a $
$ A = \sin a - \sin a = 0 $
Donc pour tout réel $ a $ :