Nombre de solutions d’une équation polynomiale

1. $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{3}= - \infty $
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty } - 3x^{2}= - \infty $
   
   Donc par somme $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }x^{3} - 3x^{2}+1= - \infty $
   
   Lorsque $ x\rightarrow +\infty $ on a une forme indéterminée du type «$ +\infty - \infty $». On lève l'indétermination en mettant $ x^{3} $ en facteur :
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3} - 3x^{2}+1=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\left(1 - \dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}\right) $
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}=+\infty $
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }1 - \dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}=1 $ (par somme)
   
   Donc par produit :
   
   $ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty }x^{3}\left(1 - \dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)=+\infty $

2. $ f^{\prime}\left(x\right)=3x^{2} - 6x=3x\left(x - 2\right) $

   $ f^{\prime} $ s'annule pour $ x=0 $ et $ x=2 $ et est strictement négative sur l'intervalle $ \left]0 ; 2\right[ $

   On calcule : $ f\left(0\right)=1 $ et $ f\left(2\right)= - 3 $.

   On obtient le tableau de variation suivant :

   
3. $ f $ est une fonction polynôme donc continue sur $ \mathbb{R} $.
   
   Sur $ \left] - \infty ; 0 \right[, $ $ f $ est strictement croissante. $ 0 $ est compris entre $ \lim\limits_{x\rightarrow - \infty }f\left(x\right)= - \infty $ et $ f\left(0\right)=1 $. Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction strictement monotone, l'équation $ f\left(x\right)=0 $ admet une unique solution sur $ \left] - \infty ; 0 \right[ $.
   
   Un raisonnement similaire montre que l'équation $ f\left(x\right)=0 $ admet également une unique solution sur $ \left] 0 ; 2 \right[ $ où $ f $ est strictement décroissante et une unique solution sur $ \left] 2 ; +\infty \right[ $ où $ f $ est strictement croissante.
   
   Au total, l'équation $ f\left(x\right)=0 $ admet trois solutions.

Courbe représentative de la fonction $ f $