Étudier les variations d’une suite avec la fonction associée
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Cette méthode s'applique aux suites $ \left(u_{n}\right) $ définies explicitement par une formule du type $ u_{n}=f\left(n\right) $, où $ f $ est une fonction connue.
- Étape 1 : identifier la fonction $ f $ telle que $ u_{n}=f\left(n\right) $ pour tout $ n\in \mathbb{N} $.
- Étape 2 : étudier les variations de $ f $ sur l'intervalle $ \left[0 ; +\infty\right[ $ (ou $ \left[1 ; +\infty\right[ $ si la suite démarre à $ n=1 $), par exemple en calculant sa dérivée $ f' $ et en étudiant son signe.
- Étape 3 : conclure sur la monotonie de la suite :
- si $ f $ est croissante sur $ \left[0 ; +\infty\right[ $, alors $ \left(u_{n}\right) $ est croissante
- si $ f $ est décroissante sur $ \left[0 ; +\infty\right[ $, alors $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante.
Suite associée à une fonction polynôme
Soit la suite $ \left(u_{n}\right) $ définie pour tout $ n\in \mathbb{N} $ par $ u_{n}=n^{2} - 4n+7 $.
Étape 1 : la suite est associée à la fonction $ f $ définie sur $ \mathbb{R} $ par $ f\left(x\right)=x^{2} - 4x+7 $.
Étape 2 : $ f $ est un trinôme du second degré de la forme $ ax^{2}+bx+c $ avec $ a=1 $, $ b= - 4 $, $ c=7 $.
L'abscisse du sommet vaut :
$ \alpha=\dfrac{ - b}{2a}=\dfrac{4}{2}=2 $
Comme $ a=1 > 0 $, la parabole est tournée vers le haut : $ f $ est décroissante sur $ \left] - \infty ; 2\right] $ puis croissante sur $ \left[2 ; +\infty\right[ $.
Sur $ \left[0 ; +\infty\right[ $, la fonction $ f $ n'est donc pas monotone : elle décroît de $ 0 $ à $ 2 $ puis croît à partir de $ 2 $.
Étape 3 : on calcule les premiers termes pour voir ce qu'il se passe autour de $ n=2 $.
$ u_{0}=7 $ ; $ u_{1}=4 $ ; $ u_{2}=3 $ ; $ u_{3}=4 $ ; $ u_{4}=7 $
La suite décroît jusqu'à $ u_{2}=3 $ puis croît : la suite $ \left(u_{n}\right) $ n'est donc ni croissante, ni décroissante sur $ \mathbb{N} $.
On peut cependant préciser :
- $ \left(u_{n}\right) $ est décroissante pour $ n\in \left\{ 0 ; 1 ; 2 \right\} $
- $ \left(u_{n}\right) $ est croissante pour $ n\geqslant 2 $.
Suite associée à une fonction rationnelle
Soit la suite $ \left(v_{n}\right) $ définie pour tout $ n\geqslant 1 $ par $ v_{n}=\dfrac{3n+1}{n} $.
Étape 1 : la suite est associée à la fonction $ f $ définie sur $ \left]0 ; +\infty\right[ $ par $ f\left(x\right)=\dfrac{3x+1}{x}=3+\dfrac{1}{x} $.
Étape 2 : étudier les variations de $ f $ en calculant sa dérivée.
$ f\left(x\right)=3+x^{ - 1} $
$ f'\left(x\right)= - x^{ - 2}= - \dfrac{1}{x^{2}} $
Pour tout $ x > 0 $, $ x^{2} > 0 $ donc $ f'\left(x\right) < 0 $ : la fonction $ f $ est strictement décroissante sur $ \left]0 ; +\infty\right[ $.
Étape 3 : puisque $ f $ est décroissante sur $ \left[1 ; +\infty\right[ $, la suite $ \left(v_{n}\right) $ est strictement décroissante.
Vérification : $ v_{1}=4 $ ; $ v_{2}=3{,}5 $ ; $ v_{3}\approx 3{,}33 $ ; $ v_{4}=3{,}25 $ ; ce qui confirme la décroissance.
Remarque
Cette méthode est particulièrement efficace quand la fonction $ f $ est connue (polynôme, fonction rationnelle, racine carrée, exponentielle, etc.) car on dispose alors d'outils puissants (dérivation, tableau de variations) pour étudier ses variations.
Elle ne s'applique pas aux suites définies par récurrence : dans ce cas, il faut utiliser d'autres méthodes (étude du signe de $ u_{n+1} - u_{n} $, récurrence).
Attention
La réciproque est fausse : une suite $ \left(u_{n}\right) $ peut être monotone alors que la fonction associée $ f $ ne l'est pas sur $ \left[0 ; +\infty\right[ $ tout entier.
C'est pourquoi la méthode donne une conclusion seulement si $ f $ est monotone sur l'intervalle étudié. Sinon, il faut étudier la situation au cas par cas (comme dans l'exemple 1 où la suite n'est monotone qu'à partir d'un certain rang).