Effectuer un enchaînement de calculs avec relatifs et fractions
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Pour calculer une expression mêlant fractions et nombres relatifs :
- Identifier les priorités : parenthèses d'abord, puis puissances, puis multiplications et divisions, enfin additions et soustractions.
- Repérer les barres de fraction : elles jouent le rôle de parenthèses. On calcule séparément le numérateur et le dénominateur avant d'effectuer la division.
- Effectuer chaque opération en appliquant la règle des signes et les règles sur les fractions (mise au même dénominateur pour les sommes, simplification avant produit pour les multiplications).
- Simplifier le résultat final si possible.
Multiplication prioritaire sur la soustraction
Calculer $ A = \dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{3} \times \dfrac{-9}{4} $.
Étape 1 : La multiplication est prioritaire sur la soustraction. On la calcule d'abord.
Le produit est négatif (un seul signe négatif). On simplifie : $ 9 $ et $ 3 $ par $ 3 $ ; $ 2 $ et $ 4 $ par $ 2 $.
$ \dfrac{2}{3} \times \dfrac{-9}{4} = \dfrac{{\color{red} 1}}{{\color{red} 1}} \times \dfrac{-{\color{red} 3}}{{\color{red} 2}} = \dfrac{-3}{2} $
Étape 2 : On effectue la soustraction. Dénominateur commun de $ 6 $ et $ 2 $ : $ 6 $.
$ \dfrac{-3}{2} = \dfrac{-3 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{-9}{6} $
$ A = \dfrac{5}{6} - \dfrac{-9}{6} = \dfrac{5 - (-9)}{6} = \dfrac{5 + 9}{6} = \dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3} $
Avec une barre de fraction
Calculer $ B = \dfrac{-4 + 10}{2 - 5} $.
Étape 1 : La barre de fraction impose de calculer séparément le numérateur et le dénominateur.
Numérateur : $ -4 + 10 = 6 $.
Dénominateur : $ 2 - 5 = -3 $.
Étape 2 : On effectue la division :
$ B = \dfrac{6}{-3} = -2 $
Expression avec parenthèses
Calculer $ C = \left( \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} \right) \times \dfrac{-8}{5} $.
Étape 1 : On effectue d'abord le calcul entre parenthèses. Dénominateur commun de $ 4 $ et $ 2 $ : $ 4 $.
$ \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4} $
Étape 2 : On effectue la multiplication. Un seul signe négatif : le résultat est négatif. On simplifie : $ 8 $ et $ 4 $ par $ 4 $.
$ C = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{-8}{5} = \dfrac{1}{{\color{red} 1}} \times \dfrac{-{\color{red} 2}}{5} = \dfrac{-2}{5} $
Avec division et fractions
Calculer $ D = \dfrac{-3}{7} + \dfrac{6}{7} \div \dfrac{-2}{5} $.
Étape 1 : La division est prioritaire sur l'addition. On la calcule d'abord.
$ \dfrac{6}{7} \div \dfrac{-2}{5} = \dfrac{6}{7} \times \dfrac{5}{-2} = \dfrac{6}{7} \times \dfrac{-5}{2} $
Un seul signe négatif : le résultat est négatif. On simplifie : $ 6 $ et $ 2 $ par $ 2 $.
$ \dfrac{6}{7} \times \dfrac{-5}{2} = \dfrac{{\color{red} 3}}{7} \times \dfrac{-5}{{\color{red} 1}} = \dfrac{-15}{7} $
Étape 2 : On effectue l'addition. Le dénominateur $ 7 $ est déjà commun.
$ D = \dfrac{-3}{7} + \dfrac{-15}{7} = \dfrac{-3 + (-15)}{7} = \dfrac{-18}{7} $
Attention
- Ne pas se précipiter : avant de calculer, identifier l'opération la moins prioritaire (la dernière à effectuer) pour structurer le calcul.
- Ne pas simplifier dans une somme : dans $ \dfrac{3 + 6}{6} $, on ne peut pas « barrer » les $ 6 $ ; il faut d'abord calculer le numérateur.
- Une barre de fraction agit comme une grande parenthèse autour du numérateur et du dénominateur.