Dresser un tableau de variations à partir d’une courbe

Méthode

Pour dresser le tableau de variations d'une fonction à partir de sa courbe représentative :

Étape 1 : repérer l'intervalle de lecture, c'est-à-dire l'abscisse du premier et du dernier point de la courbe (les bornes).
Étape 2 : parcourir la courbe de gauche à droite et repérer les abscisses des extremums, c'est-à-dire les points où la courbe « change de sens » (un creux ou un sommet).
Étape 3 : déterminer le sens de variation sur chaque intervalle ainsi délimité : la fonction est croissante là où la courbe « monte », décroissante là où la courbe « descend ».
Étape 4 : reporter dans le tableau les abscisses des bornes et des extremums sur la première ligne, puis les images correspondantes (lues sur l'axe des ordonnées) sur la seconde ligne, et tracer les flèches.

Remarque

Sur la seconde ligne du tableau, une flèche qui monte traduit une fonction croissante, une flèche qui descend traduit une fonction décroissante. Les valeurs placées en haut d'une cellule sont des maximums locaux, celles placées en bas sont des minimums locaux.

Une courbe avec un seul extremum

On considère la fonction $f$ représentée par la courbe ci-dessous.

Courbe de f décroissante puis croissante sur l'intervalle [-3 ; 4]

Étape 1 : la courbe est tracée pour les abscisses allant de $-3$ à $4$. On lit donc les variations sur l'intervalle $[-3\,;4]$.

Étape 2 : en parcourant la courbe de gauche à droite, on observe un creux au point d'abscisse $1$. C'est le seul extremum.

Étape 3 : avant ce creux, la courbe descend : $f$ est décroissante sur $[-3\,;1]$. Après ce creux, la courbe monte : $f$ est croissante sur $[1\,;4]$.

Étape 4 : on lit les images aux bornes et au creux : $f(-3)=4$, $f(1)=-2$ et $f(4)=3$. On obtient le tableau de variations suivant.

Une courbe avec deux extremums

On considère la fonction $g$ représentée par la courbe ci-dessous.

Courbe de g croissante puis décroissante puis croissante sur l'intervalle [-2 ; 5]

Étape 1 : la courbe est tracée pour les abscisses allant de $-2$ à $5$. On lit les variations sur l'intervalle $[-2\,;5]$.

Étape 2 : en parcourant la courbe de gauche à droite, on repère deux extremums : un sommet au point d'abscisse $0$ et un creux au point d'abscisse $3$.

Étape 3 : la courbe monte jusqu'au sommet, donc $g$ est croissante sur $[-2\,;0]$ ; elle descend ensuite jusqu'au creux, donc $g$ est décroissante sur $[0\,;3]$ ; puis elle remonte, donc $g$ est croissante sur $[3\,;5]$.

Étape 4 : on lit les images aux bornes et aux extremums : $g(-2)=-1$, $g(0)=3$, $g(3)=-2$ et $g(5)=2$. On obtient le tableau de variations suivant.

Remarque

Les valeurs reportées dans le tableau ne sont pas inventées : ce sont les ordonnées lues sur la courbe aux abscisses des bornes et des extremums. Tant que la courbe ne change pas de sens entre deux de ces abscisses, une seule flèche suffit pour décrire la variation sur tout l'intervalle.

Attention

Ne pas confondre l'abscisse d'un extremum (lue sur l'axe horizontal, c'est elle qui apparaît sur la première ligne du tableau) et la valeur de cet extremum (l'ordonnée, lue sur l'axe vertical, qui apparaît sur la seconde ligne). Au creux de l'exemple 1, l'extremum est atteint en $x=1$ et vaut $-2$ : ce sont bien deux nombres différents à placer chacun sur sa ligne.

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Une courbe avec un seul extremum

Une courbe avec deux extremums

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