Construire l’image d’un point par une homothétie
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Créer un comptePour construire l'image d'un point par une homothétie, il faut connaître le centre et le rapport de l'homothétie. La construction dépend du signe du rapport $k$.
Méthode
Pour construire l'image $M'$ du point $M$ par l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ :
- Étape 1 : tracer la demi-droite $[OM)$.
- Étape 2 : calculer la distance $OM' = |k| \times OM$.
- Étape 3 : placer $M'$ sur la droite $(OM)$ :
- si $k > 0$ : $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $O$ ;
- si $k < 0$ : $M'$ est de l'autre côté de $O$ par rapport à $M$.
Construction avec un rapport positif
On considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = 2$. Le point $M$ est tel que $OM = 3$ cm. Construire l'image $M'$ de $M$.
Étape 1 : on trace la demi-droite $[OM)$.
Étape 2 : on calcule la distance $OM'$.
Étape 3 : comme $k = 2 > 0$, on place $M'$ sur la demi-droite $[OM)$, du même côté que $M$ par rapport à $O$, à 6 cm de $O$.
Remarque
Comme $|k| = 2 > 1$, le point $M'$ est plus éloigné de $O$ que $M$ : c'est un agrandissement.
Construction avec un rapport négatif
On considère l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k = -0{,}5$. Le point $A$ est tel que $OA = 4$ cm. Construire l'image $A'$ de $A$.
Étape 1 : on trace la droite $(OA)$.
Étape 2 : on calcule la distance $OA'$.
Étape 3 : comme $k = -0{,}5 < 0$, on place $A'$ de l'autre côté de $O$ par rapport à $A$, à 2 cm de $O$.
Le point $O$ se trouve donc entre $A$ et $A'$ sur la droite $(OA)$.
Remarque
Comme $|k| = 0{,}5 < 1$, le point $A'$ est plus proche de $O$ que $A$ : c'est une réduction. De plus, le signe négatif provoque un retournement (les points sont de part et d'autre de $O$).
Attention
Ne pas confondre le signe de $k$ (qui détermine la position de l'image par rapport au centre) et la valeur absolue $|k|$ (qui détermine si c'est un agrandissement ou une réduction).