Point d’intersection inaccessible par homothétie

Deux droites $(d)$ et $(d')$ se coupent en un point $O$ situé en dehors de la feuille. On place un point $M$ sur la feuille.

L'objectif est de tracer la droite $(OM)$ sans sortir de la feuille.

1. Placer deux points $A$ et $B$ sur la droite $(d)$. Construire le milieu $A'$ du segment $[MA]$ et le milieu $B'$ du segment $[MB]$. Tracer la droite $(A'B')$.
2. Quelle est la transformation du plan qui envoie $A$ sur $A'$ et $B$ sur $B'$ ? Préciser son centre et son rapport.
3. Justifier que la droite $(A'B')$ est parallèle à la droite $(d)$.
4. De la même façon, placer deux points $C$ et $D$ sur la droite $(d')$. Construire le milieu $C'$ du segment $[MC]$ et le milieu $D'$ du segment $[MD]$. Tracer la droite $(C'D')$.

5. On appelle $N$ le point d'intersection des droites $(A'B')$ et $(C'D')$.

   1. Justifier que $N$ est l'image du point $O$ par la transformation identifiée à la question 2.
   2. En déduire que les points $M$, $N$ et $O$ sont alignés.
6. Expliquer pourquoi la droite $(MN)$ est la droite cherchée.

Corrigé

1. On place $A$ et $B$ sur $(d)$, on construit les milieux $A'$ et $B'$ à la règle et au compas (ou en mesurant), puis on trace la droite $(A'B')$.
2. La transformation qui envoie chaque point $P$ sur le milieu du segment $[MP]$ est l'homothétie de centre $M$ et de rapport $k = \dfrac{1}{2}$.
   En effet, si $A'$ est le milieu de $[MA]$, alors $MA' = \dfrac{1}{2} \times MA$, et $A'$ est sur le segment $[MA]$ (même côté que $A$ par rapport à $M$).
3. L'image d'une droite par une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
   La droite $(A'B')$ est l'image de la droite $(d)$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$, donc $(A'B')$ est parallèle à $(d)$.
4. On construit de la même façon les milieux $C'$ de $[MC]$ et $D'$ de $[MD]$, puis on trace $(C'D')$. Cette droite est l'image de $(d')$ par la même homothétie, donc $(C'D')$ est parallèle à $(d')$.
5. 1. La droite $(A'B')$ est l'image de $(d)$ et la droite $(C'D')$ est l'image de $(d')$ par l'homothétie de centre $M$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$.
      Le point $O$ est l'intersection de $(d)$ et $(d')$. Son image par l'homothétie appartient à la fois à l'image de $(d)$ et à l'image de $(d')$, c'est-à-dire à $(A'B')$ et à $(C'D')$.
      Donc $N$ est l'image de $O$ par cette homothétie.
   2. Par définition d'une homothétie de centre $M$, le centre $M$, tout point et son image sont alignés.
      Puisque $N$ est l'image de $O$ par l'homothétie de centre $M$, les points $M$, $N$ et $O$ sont alignés.
6. Puisque $M$, $N$ et $O$ sont alignés, la droite $(MN)$ passe par $O$ : c'est la droite $(OM)$ cherchée.