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Probabilités conditionnelles - Indépendance Exercices

Suites et probabilités

Durée estimée
20 minutes
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Objectifs travaillés

Jean participe à un jeu de tir à la carabine lors d'une fête foraine.

Pour chaque partie, il dispose de deux essais. S'il touche la cible au premier essai, il remporte un lion en peluche (et le jeu s'arrête là). S'il atteint la cible au second essai, il remporte un ourson en peluche. S'il rate les deux tirs, il ne gagne rien mais peut rejouer une nouvelle partie.

Jean décide de jouer jusqu'à ce qu'il ait remporté un lot. Toutefois, il arrêtera de jouer après 5 parties même s'il n'a rien gagné. Lors de chaque partie, Jean a une probabilité de $ 0{,}4 $ de toucher la cible au premier essai. S'il a manqué son premier tir, il a une probabilité de $ 0{,}5 $ de toucher la cible au second essai.

On note :

$ A_n $ l' événement : « Jean a atteint la cible du premier coup lors de la n-ième partie »

$ B_n $ l' événement : « Jean a atteint la cible au deuxième coup lors de la n-ième partie »

$ P_n $ l' événement : « Jean a raté ses deux tirs lors de la n-ième partie »

On note également $ a_n=p(A_n) $, $ b_n=p(B_n) $ et $ p_n=p(P_n) $ les probabilités respectives de $ A_n, B_n $ et $ P_n $.

  1. Calculer $ a_1 $, $ b_1 $ et $ p_1 $.
  2. Montrer que la suite$ (p_n) $ est une suite géométrique de raison $ 0{,}3 $.
  3. Quelle est la probabilité que Jean ne remporte aucun lot ? (On arrondira le résultat à $ 10^{ - 3} $ près).
  4. Exprimer $ a_n $ et $ b_n $ en fonction de $ n $. En déduire la probabilité que Jean gagne un lion en peluche et la probabilité qu'il gagne un ourson. (On arrondira les résultats à $ 10^{ - 3} $ près).

Corrigé

  1. La première partie peut être schématisée par l'arbre ci-dessous :

    Arbre de probabilité de la première partie : Jean touche la cible au premier essai avec une probabilité de 0,4 ; sinon il tente un second essai qu'il réussit avec une probabilité de 0,5

    On a donc :

    $ a_1=p(A_1)=0{,}4 $

    $ p( \overline{A_1})=0{,}6 $

    $ b_1=p(B_1)=p(\overline{A_1})\times p_{\overline{A_1}}(B_1) $
    $ \phantom{b_1}=0{,}6 \times 0{,}5 = 0{,}3 $

    $ p_1=p(P_1)=p(\overline{A_1}) \times p_{\overline{A_1}}(P_1) $
    $ \phantom{p_1}=0{,}6 \times 0{,}5=0{,}3 $

  2. Par un raisonnement analogue à celui de la question précédente, la probabilité que Jean perde une partie (c'est à dire manque les deux tirs) sachant qu'il a perdu la partie précédente est $ 0{,}3 $.

    Par conséquent :
    $ p_{n+1}=p(P_{n+1})=p(P_n)\times p_{P_n}\left(P_{n+1}\right) $
    $ \phantom{p_{n+1}}=p_n\times 0{,}3 $

    La suite $ \left(p_n\right) $ est donc une suite géométrique de raison $ 0{,}3 $ et de premier terme $ p_1=0{,}3 $.

    D'après la formule donnant le $ n $-ième terme d'une suite géométrique en fonction de $ n $, on a alors :
    $ p_n=0{,}3 \times 0{,}3^{n - 1}=0{,}3^n $
  3. Jean ne remporte aucun lot s'il perd la cinquième partie.
    La probabilité que cela se produise est : $ p_{5}=0{,}3^{5} \approx 0{,}002 $ (à $ 10^{ - 3} $ près)
  4. Soit $ n $ un entier strictement supérieur à $ 1 $.

    Puisque, lors de chaque partie, Jean a 40 % de chance d'atteindre la cible au premier essai, la probabilité qu'il remporte un lion à la $ n $-ième partie sachant qu'il a perdu la $ (n - 1) $-ième partie est $ 0{,}4 $.

    Par conséquent :
    $ a_{n}=p(A_{n})=p(P_{n - 1})\times p_{P_{n - 1}}\left(A_{n}\right) $ $ \phantom{a_{n}}=p_{n - 1}\times 0{,}4 =0{,}4 \times 0{,}3^{n - 1} $

    De même :
    $ b_{n}=p(B_{n})=p(P_{n - 1})\times p_{P_{n - 1}}\left(B_{n}\right) $ $ \phantom{b_{n}}=p_{n - 1}\times 0{,}3 =0{,}3 \times 0{,}3^{n - 1}=0{,}3^n $

    L'événement « Jean gagne un lion en peluche » est l'événement $ A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 $.
    Les événements $ A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 $ étant incompatibles, la probabilité que Jean gagne un lion est :

    $ p(L)=p(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5) $
    $ \phantom{p(L)}=p(A_1)+p(A_2)+p(A_3)+p(A_4)+p(A_5) $
    $ \phantom{p(L)}=0{,}4 + 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}3^2 + 0{,}4 \times 0{,}3^3 + 0{,}4 \times 0{,}3^4 $
    $ \phantom{p(L)}=0{,}4 (1 + 0{,}3 + 0{,}3^2+ 0{,}3^3 + 0{,}3^4) $

    On reconnait la somme des termes d'une suite géométrique. $ p(L)=0{,}4 \times \dfrac{1 - 0{,}3^5}{1 - 0{,}3} \approx 0{,}570 $ (à $ 10^{ - 3} $ près)

    De même, la probabilité que Jean gagne un ourson est :

    $ p(O)=p(B_1 \cup B_2 \cup B_3 \cup B_4 \cup B_5) $
    $ \phantom{p(O)}=p(B_1)+p(B_2)+p(B_3)+p(B_4)+p(B_5) $
    $ \phantom{p(O)} =0{,}3 + 0{,}3^2+ 0{,}3^3 + 0{,}3^4 +0{,}3^5 $
    $ \phantom{p(O)}=0{,}3 \times \dfrac{1 - 0{,}3^5}{1 - 0{,}3} \approx 0{,}428 $ (à $ 10^{ - 3} $ près)