Sujet 0 – Suites
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Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,
- Affirmation 1 : « $u_4 = \dfrac{1}{9}$. »
- Affirmation 2 : « Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$. »
- Affirmation 3 : « La suite numérique $(u_n)$ est minorée par $10^{-10}$. »
Corrigé
On étudie chaque affirmation séparément.
Affirmation 1 : vraie.
On calcule les premiers termes de la suite :
$u_0 = 1$
$u_1 = \dfrac{u_0}{1 + 2u_0} = \dfrac{1}{3}$
$u_2 = \dfrac{u_1}{1 + 2u_1} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{1 + \tfrac{2}{3}} = \dfrac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{5}{3}} = \dfrac{1}{5}$
$u_3 = \dfrac{u_2}{1 + 2u_2} = \dfrac{\tfrac{1}{5}}{1 + \tfrac{2}{5}} = \dfrac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{7}{5}} = \dfrac{1}{7}$
$u_4 = \dfrac{u_3}{1 + 2u_3} = \dfrac{\tfrac{1}{7}}{1 + \tfrac{2}{7}} = \dfrac{\tfrac{1}{7}}{\tfrac{9}{7}} = \dfrac{1}{9}$
Ainsi $u_4 = \dfrac{1}{9}$ : l'affirmation est vraie.Affirmation 2 : vraie.
On démontre par récurrence la propriété $P_n$ : « $u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$ ».
Initialisation : pour $n = 0$, $u_0 = 1$ et $\dfrac{1}{2 \times 0 + 1} = 1$. Ainsi $P_0$ est vraie.
Hérédité : supposons $P_n$ vraie pour un entier naturel $n$ : $u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$.
Alors :
$u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1 + 2u_n} = \dfrac{\tfrac{1}{2n + 1}}{1 + \tfrac{2}{2n + 1}} = \dfrac{\tfrac{1}{2n + 1}}{\tfrac{2n + 3}{2n + 1}} = \dfrac{1}{2n + 3}$
Or $2(n + 1) + 1 = 2n + 3$, donc $u_{n+1} = \dfrac{1}{2(n + 1) + 1}$. $P_{n+1}$ est vraie.Conclusion : pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$. L'affirmation est vraie.
Affirmation 3 : fausse.
D'après l'affirmation 2, $u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$.
Comme $\lim\limits_{n \to +\infty} (2n + 1) = +\infty$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
Supposons par l'absurde que $(u_n)$ est minorée par $10^{-10}$. Par passage à la limite dans l'inégalité $u_n \geqslant 10^{-10}$, on obtiendrait $0 \geqslant 10^{-10}$, ce qui est faux.
Plus concrètement, en résolvant $\dfrac{1}{2n + 1} < 10^{-10}$, on obtient $2n + 1 > 10^{10}$, soit $n > \dfrac{10^{10} - 1}{2}$. Par exemple pour $n = 10^{10}$, $u_n < 10^{-10}$.
L'affirmation est donc fausse.
Bilan :
- Affirmation 1 : vraie, $u_4 = \dfrac{1}{9}$.
- Affirmation 2 : vraie, $u_n = \dfrac{1}{2n + 1}$ pour tout entier naturel $n$.
- Affirmation 3 : fausse, la suite $(u_n)$ n'est pas minorée par $10^{-10}$.