Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues Exercices

Simplification de racines carrées

Durée estimée
10 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

  1. Simplifier les expressions suivantes :

    1. $ \sqrt{75} $
    2. $ \sqrt{98} $
    3. $ \sqrt{108} $
    4. $ \sqrt{180} $

  2. Écrire chaque expression sous la forme $ a\sqrt{b} $ où $ a $ et $ b $ sont des entiers, $ b $ étant le plus petit possible :

    1. $ \sqrt{45} + \sqrt{20} $
    2. $ 3\sqrt{12} - \sqrt{48} $
    3. $ \sqrt{50} + \sqrt{32} - \sqrt{8} $

  3. Calculer et simplifier :

    1. $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} $
    2. $ \dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} $

  4. Déterminer la nature de chacun des nombres suivants (entier naturel, entier relatif, décimal, rationnel ou irrationnel) :

    1. $ \sqrt{75} - \sqrt{27} $
    2. $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} $

Corrigé

    1. On cherche le plus grand carré parfait divisant 75. On a $ 75 = 25 \times 3 $, donc :
      $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} $ = $\mathbf{5\sqrt{3}}$
    2. On a $ 98 = 49 \times 2 $, donc :
      $ \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2} $ = $\mathbf{7\sqrt{2}}$
    3. On a $ 108 = 36 \times 3 $, donc :
      $ \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \times \sqrt{3} $ = $\mathbf{6\sqrt{3}}$
    4. On a $ 180 = 36 \times 5 $, donc :
      $ \sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} $ = $\mathbf{6\sqrt{5}}$
    1. On simplifie chaque racine : $ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5} $ et $ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5} $.
      Donc $ \sqrt{45} + \sqrt{20} = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} $ = $\mathbf{5\sqrt{5}}$
    2. On a $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} $ et $ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} $.
      Donc $ 3\sqrt{12} - \sqrt{48} = 3 \times 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 4\sqrt{3} $ = $\mathbf{2\sqrt{3}}$
    3. On a $ \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} $, $ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} $ et $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} $.
      Donc $ \sqrt{50} + \sqrt{32} - \sqrt{8} = 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 2\sqrt{2} $ = $\mathbf{7\sqrt{2}}$
    1. On utilise la propriété $ \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} $ :
      $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} = \sqrt{7 \times 28} = \sqrt{196} $ = $\mathbf{14}$
    2. On utilise la propriété $ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} $ :
      $ \dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{54}{6}} = \sqrt{9} $ = $\mathbf{3}$
    1. On simplifie : $ \sqrt{75} = 5\sqrt{3} $ et $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} $.
      Donc $ \sqrt{75} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} $.
      Or $ \sqrt{3} $ est un nombre irrationnel, donc $ 2\sqrt{3} $ est irrationnel.
    2. D'après la question 3.a., $ \sqrt{7} \times \sqrt{28} = 14 $.
      Le nombre $ 14 $ est un entier naturel.