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Python au lycée (4) : Les fonctions Exercices

Python : Résolution d’une équation du second degré

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectifs travaillés

On souhaite écrire un programme Python qui résout l'équation $ ax^2 + bx + c = 0 $ (avec $ a \neq 0 $).
On admet le résultat suivant, qui sera démontré en classe de première :
on pose $ \Delta = b^2 - 4ac $ (appelé discriminant).

  • Si $ \Delta < 0 $, l'équation n'a pas de solution réelle.
  • Si $ \Delta = 0 $, l'équation admet une unique solution $ x_0 = \dfrac{-b}{2a} $.
  • Si $ \Delta > 0 $, l'équation admet deux solutions $ x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $ et $ x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} $.
  1. Calculer « à la main » le discriminant puis les solutions de l'équation $ 2x^2 + x - 1 = 0 $.
  2. Écrire une fonction Python resolution(a, b, c) qui affiche les solutions de l'équation $ ax^2 + bx + c = 0 $. La fonction distinguera les trois cas selon le signe du discriminant.

  3. Tester la fonction avec les trois équations suivantes :

    1. $ 2x^2 + x - 1 = 0 $ ;
    2. $ x^2 - 2x + 1 = 0 $ ;
    3. $ x^2 + x + 1 = 0 $.

Corrigé

  1. Pour $ 2x^2 + x - 1 = 0 $, on a $ a = 2 $, $ b = 1 $, $ c = -1 $.
    $ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9 $.
    Comme $ \Delta > 0 $, l'équation admet deux solutions :

    • $ x_1 = \dfrac{-1 - \sqrt{9}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 - 3}{4} = \dfrac{-4}{4} = \mathbf{-1} $ ;
    • $ x_2 = \dfrac{-1 + \sqrt{9}}{2 \times 2} = \dfrac{-1 + 3}{4} = \dfrac{2}{4} = \mathbf{0{,}5} $.

  2. On importe sqrt puis on traduit les trois cas avec if, elif et else :

    from math import sqrt

def resolution(a, b, c):
    delta = b**2 - 4 * a * c
    if delta < 0:
        print("Pas de solution réelle.")
    elif delta == 0:
        x0 = -b / (2 * a)
        print("Solution unique :", x0)
    else:
        x1 = (-b - sqrt(delta)) / (2 * a)
        x2 = (-b + sqrt(delta)) / (2 * a)
        print("Deux solutions :", x1, "et", x2)

  3. Tests :

    1. resolution(2, 1, -1) : $ \Delta = 9 > 0 $, l'équation a deux solutions.

      Deux solutions : -1.0 et 0.5

      Cela confirme le résultat de la question 1.

    2. resolution(1, -2, 1) : $ \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 4 - 4 = 0 $. L'équation a une solution unique :
      $ x_0 = \dfrac{-(-2)}{2 \times 1} = \dfrac{2}{2} = 1 $.

      Solution unique : 1.0

    3. resolution(1, 1, 1) : $ \Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0 $. L'équation n'a pas de solution réelle.

      Pas de solution réelle.

Remarque
L'équation $ x^2 - 2x + 1 = 0 $ s'écrit aussi $ (x - 1)^2 = 0 $, ce qui confirme la solution unique $ x_0 = 1 $.