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Probabilités Exercices

Fréquence et probabilité avec un dé

Durée estimée
10 minutes
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Objectif travaillé

Léa lance un dé non truqué à six faces un grand nombre de fois et note la fréquence d'apparition du chiffre 6 en fonction du nombre de lancers. Voici ses résultats :

Nombre de lancers 10 50 100 500 1 000 5 000
Nombre de 6 obtenus 3 7 19 88 163 841
Fréquence du 6            
  1. Recopier et compléter le tableau en calculant la fréquence d'apparition du chiffre 6 pour chaque nombre de lancers. Arrondir au centième.
  2. Quelle est la probabilité théorique d'obtenir un 6 en lançant un dé non truqué ? Donner le résultat sous forme de fraction puis sous forme décimale arrondie au centième.
  3. À partir de combien de lancers la fréquence observée semble-t-elle se rapprocher de la probabilité théorique ?
  4. Après 10 lancers, Léa a obtenu 3 fois le chiffre 6. Peut-elle en conclure que son dé est truqué ? Justifier.

Corrigé

  1. On calcule chaque fréquence en divisant le nombre de 6 obtenus par le nombre total de lancers :

    Nombre de lancers 10 50 100 500 1 000 5 000
    Nombre de 6 obtenus 3 7 19 88 163 841
    Fréquence du 6 $ \textcolor{red}{0{,}30} $ $ \textcolor{red}{0{,}14} $ $ \textcolor{red}{0{,}19} $ $ \textcolor{red}{0{,}18} $ $ \textcolor{red}{0{,}16} $ $ \textcolor{red}{0{,}17} $

    Détail des calculs :
    $ \dfrac{3}{10} = 0{,}30 $ ; $ \dfrac{7}{50} = 0{,}14 $ ; $ \dfrac{19}{100} = 0{,}19 $ ; $ \dfrac{88}{500} = 0{,}176 \approx 0{,}18 $ ; $ \dfrac{163}{1\,000} = 0{,}163 \approx 0{,}16 $ ; $ \dfrac{841}{5\,000} = 0{,}1682 \approx 0{,}17 $

  2. Le dé est non truqué, donc toutes les faces ont la même probabilité d'apparaître. Il y a 6 faces et une seule porte le chiffre 6 :

    $ p(6) = \dfrac{1}{6} \approx $$\mathbf{0{,}17}$
  3. On observe que les fréquences fluctuent beaucoup pour un petit nombre de lancers ($0{,}30$ pour 10 lancers, $0{,}14$ pour 50 lancers). À partir de 500 lancers environ, la fréquence se stabilise autour de $0{,}17$, ce qui est très proche de la probabilité théorique $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.
    Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique : on dit que la fréquence se stabilise vers la probabilité.
  4. Non, Léa ne peut pas conclure que son dé est truqué. Avec seulement 10 lancers, les résultats peuvent fortement varier par rapport à la probabilité théorique. Obtenir 3 fois le chiffre 6 sur 10 lancers (fréquence de $0{,}30$) est tout à fait possible avec un dé non truqué.
    C'est justement ce que montrent les résultats : au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente, la fréquence se rapproche de $\dfrac{1}{6}$, confirmant que le dé n'est pas truqué. Il faut un grand nombre de lancers pour pouvoir tirer des conclusions fiables.