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Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues Exercices

Encadrements et mesures

Durée estimée
15 minutes
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Objectif travaillé

  1. Un menuisier doit découper un panneau carré dont la surface doit être exactement de $ 5 $ m².

    1. Exprimer la longueur exacte du côté de ce carré.
    2. Cette longueur est-elle un nombre décimal ? Justifier.
    3. Donner un encadrement de cette longueur à $ 10^{-2} $ près.
    4. Le menuisier utilise un mètre ruban gradué au millimètre. Quelle longueur va-t-il mesurer ?

  2. La circonférence d'un cercle de rayon $ r $ est $ \mathcal{C} = 2\pi r $. On considère un cercle de rayon $ r = 3 $ cm.

    1. Donner la valeur exacte de la circonférence.
    2. Donner un encadrement de $ \mathcal{C} $ d'amplitude $ 10^{-1} $.
    3. Donner l'arrondi de $ \mathcal{C} $ au dixième.

  3. On mesure la diagonale d'un écran de télévision. Le résultat est $ 140{,}1 $ cm.
    Le constructeur annonce une diagonale de $ 55 $ pouces, sachant que $ 1 $ pouce $ = 2{,}54 $ cm.

    1. Convertir $ 55 $ pouces en centimètres. Donner le résultat exact.
    2. Calculer l'écart entre la mesure et la valeur annoncée. Cet écart est-il inférieur à $ 0{,}5 $ cm ? Écrire cette condition à l'aide d'une valeur absolue.

Corrigé

    1. L'aire d'un carré de côté $ c $ est $ c^2 $. On cherche $ c $ tel que $ c^2 = 5 $, donc :
      $ c = \sqrt{5} $ m
      (On prend la valeur positive car il s'agit d'une longueur.)
    2. Le nombre $ 5 $ n'est pas un carré parfait, donc $ \sqrt{5} $ est irrationnel. Un nombre irrationnel ne peut pas s'écrire sous forme de fraction, encore moins sous forme décimale finie. Donc $ \sqrt{5} $ n'est pas un nombre décimal.
    3. On cherche deux nombres décimaux à deux chiffres après la virgule encadrant $ \sqrt{5} $.
      On a $ 2{,}23^2 = 4{,}9729 $ et $ 2{,}24^2 = 5{,}0176 $.
      Comme $ 4{,}9729 < 5 < 5{,}0176 $ :
      $\mathbf{2{,}23 < \sqrt{5} < 2{,}24}$
      L'amplitude est $ 2{,}24 - 2{,}23 = 0{,}01 = 10^{-2} $.
    4. Le menuisier arrondit au millimètre ($ 10^{-3} $ m).
      On a $ \sqrt{5} \approx 2{,}2360\ldots $
      L'arrondi au millimètre est $ 2{,}236 $ m, soit $ 2 $ m $ 236 $ mm.
    1. On remplace $ r = 3 $ dans la formule :
      $ \mathcal{C} = 2\pi \times 3 $ = $ 6\pi $ cm
    2. On utilise $ \pi \approx 3{,}1415\ldots $, donc $ 6\pi \approx 18{,}849\ldots $
      On cherche un encadrement d'amplitude $ 10^{-1} = 0{,}1 $ :
      $\mathbf{18{,}8 < 6\pi < 18{,}9}$
      Vérification : $ 6 \times 3{,}13 = 18{,}78 < 6\pi $ et $ 6 \times 3{,}15 = 18{,}9 > 6\pi $ (car $ \pi < 3{,}15 $).
      L'amplitude est $ 18{,}9 - 18{,}8 = 0{,}1 = 10^{-1} $.
    3. On a $ 6\pi \approx 18{,}849\ldots $
      Pour arrondir au dixième, on regarde le chiffre des centièmes : c'est $ 4 $. Comme $ 4 < 5 $, on arrondit en dessous.
      L'arrondi au dixième est $ 18{,}8 $ cm.
      On peut vérifier : la distance à $ 18{,}8 $ est $ 0{,}049\ldots $ et la distance à $ 18{,}9 $ est $ 0{,}050\ldots $, donc $ 6\pi $ est bien plus proche de $ 18{,}8 $.
    1. $ 55 \times 2{,}54 = $ $ 139{,}7 $ cm
    2. On note $ m = 140{,}1 $ la mesure et $ v = 139{,}7 $ la valeur annoncée convertie.
      L'écart est :
      $ |m - v| = |140{,}1 - 139{,}7| = |0{,}4| = 0{,}4 $
      On a $ 0{,}4 < 0{,}5 $, donc l'écart est bien inférieur à $ 0{,}5 $ cm.
      La condition s'écrit : $ |140{,}1 - 139{,}7| < 0{,}5 $, c'est-à-dire $\mathbf{|m - v| < 0{,}5}$.