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Ensembles de nombres - Intervalles - Valeurs absolues Exercices

Démonstrations sur les nombres réels

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

  1. Dans cette question, on cherche à démontrer que $ \dfrac{1}{3} $ n'est pas un nombre décimal.

    1. On suppose que $ \dfrac{1}{3} $ est un nombre décimal. Que signifie cette hypothèse ?
    2. En déduire qu'il existe un entier naturel $ n $ tel que $ 10^n $ soit un multiple de 3.
    3. Rappeler la règle de divisibilité par 3. La somme des chiffres de $ 10^n $ est-elle divisible par 3 ? Conclure.

  2. Dans cette question, on cherche à démontrer que $ \sqrt{2} $ est un nombre irrationnel.

    1. On suppose que $ \sqrt{2} $ est rationnel. Cela signifie qu'il existe deux entiers naturels non nuls $ p $ et $ q $ tels que $ \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} $, avec la fraction $ \dfrac{p}{q} $ irréductible. Montrer que $ p^2 = 2q^2 $.
    2. En déduire que $ p^2 $ est pair, puis que $ p $ est pair.
    3. Puisque $ p $ est pair, on peut écrire $ p = 2k $ où $ k $ est un entier. En remplaçant dans l'égalité $ p^2 = 2q^2 $, montrer que $ q $ est pair.
    4. En déduire que la fraction $ \dfrac{p}{q} $ n'est pas irréductible. Conclure.

  3. En utilisant les résultats précédents, déterminer la nature de chacun des nombres suivants :

    1. $ \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} $
    2. $ 3\sqrt{2} $

Corrigé

    1. Si $ \dfrac{1}{3} $ est un nombre décimal, alors il existe un entier $ a \in \mathbb{Z} $ et un entier $ n \in \mathbb{N} $ tels que :
      $ \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n} $
    2. L'égalité $ \dfrac{1}{3} = \dfrac{a}{10^n} $ donne $ 10^n = 3a $.
      Cela signifie que $ 10^n $ est un multiple de 3.
    3. Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
      Or $ 10^n $ s'écrit 1 suivi de $ n $ zéros. La somme de ses chiffres vaut donc $ 1 $, qui n'est pas divisible par 3.
      Donc $ 10^n $ n'est pas un multiple de 3, ce qui contredit le résultat de la question b.
      L'hypothèse de départ est donc fausse : $ \dfrac{1}{3} $ n'est pas un nombre décimal.
    1. On part de l'hypothèse $ \sqrt{2} = \dfrac{p}{q} $ avec $ p, q \in \mathbb{N}^* $ et la fraction irréductible.
      En élevant au carré les deux membres :
      $ 2 = \dfrac{p^2}{q^2} $
      D'où $\mathbf{p^2 = 2q^2}$.
    2. L'égalité $ p^2 = 2q^2 $ montre que $ p^2 $ est un multiple de 2, donc $ p^2 $ est pair.
      Or le carré d'un nombre impair est impair (si $ p = 2k+1 $, alors $ p^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1 $, qui est impair).
      Par contraposée, puisque $ p^2 $ est pair, $ p $ est pair.
    3. Puisque $ p $ est pair, il existe $ k \in \mathbb{N} $ tel que $ p = 2k $.
      On remplace dans $ p^2 = 2q^2 $ :
      $ (2k)^2 = 2q^2 $
      $ 4k^2 = 2q^2 $
      $ q^2 = 2k^2 $
      Donc $ q^2 $ est pair, et par le même raisonnement qu'à la question b, $ q $ est pair.
    4. On a montré que $ p $ et $ q $ sont tous les deux pairs. Ils ont donc 2 comme diviseur commun, ce qui contredit l'hypothèse que la fraction $ \dfrac{p}{q} $ est irréductible.
      L'hypothèse de départ est donc fausse : $ \sqrt{2} $ est irrationnel.
    1. La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle. En effet, si $ \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} $ était rationnel, alors $ \sqrt{2} = \left(\dfrac{1}{3} + \sqrt{2}\right) - \dfrac{1}{3} $ serait la différence de deux rationnels, donc rationnel, ce qui est absurde.
      Donc $ \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} $ est irrationnel.
    2. Le produit d'un rationnel non nul par un irrationnel est irrationnel. En effet, si $ 3\sqrt{2} $ était rationnel, alors $ \sqrt{2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{3} $ serait le quotient de deux rationnels, donc rationnel, ce qui est absurde.
      Donc $ 3\sqrt{2} $ est irrationnel.