Compensation d’une baisse de fréquentation
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Un cinéma a accueilli 24 000 spectateurs en 2023. En 2024, sa fréquentation a baissé de 15 %.
- Déterminer le coefficient multiplicateur correspondant à cette baisse. En déduire le nombre de spectateurs en 2024.
Le directeur souhaite que la fréquentation de 2025 retrouve le niveau de 2023, c'est-à-dire 24 000 spectateurs.
- Expliquer pourquoi une hausse de 15 % en 2025 ne suffira pas à compenser la baisse de 15 % de 2024.
- Déterminer le coefficient multiplicateur réciproque permettant de passer de la fréquentation de 2024 à celle de 2023.
- En déduire le taux d'évolution réciproque. Arrondir au dixième de pourcentage.
Corrigé
Le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 15 % est :
$CM = 1 - \dfrac{15}{100} = 0{,}85$
Le nombre de spectateurs en 2024 est :
$24\,000 \times 0{,}85 = $ $20\,400$ spectateurs
Une hausse de 15 % en 2025 donnerait :
$20\,400 \times 1{,}15 = 23\,460$ spectateurs
On n'obtient pas 24 000 spectateurs. La hausse de 15 % ne compense pas la baisse de 15 % car les deux pourcentages ne portent pas sur le même nombre : la baisse de 15 % a été calculée sur 24 000, tandis que la hausse de 15 % serait calculée sur 20 400.
On cherche le coefficient multiplicateur $CM'$ tel que :
$CM \times CM' = 1$
$CM' = \dfrac{1}{CM} = \dfrac{1}{0{,}85} = $ $\mathbf{\dfrac{20}{17} \approx 1{,}1765}$
Vérification : $20\,400 \times \dfrac{20}{17} = 24\,000$.
Le taux d'évolution réciproque est :
$t' = CM' - 1 = \dfrac{20}{17} - 1 = \dfrac{3}{17} \approx 0{,}1765$
Il faut donc une hausse d'environ 17,6 % pour retrouver la fréquentation initiale.
Pour réviser : Comment calculer une évolution globale (successive) ?