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Calcul littéral Exercices

Calcul littéral – Programme de calcul à deux branches – Brevet Amérique du Nord 2024

Durée estimée
20 minutes
Difficulté
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Objectif travaillé

Voici un programme de calcul :

Programme de calcul à deux branches : à partir d'un nombre choisi, branche gauche on ajoute 2 puis on multiplie par 4, branche droite on multiplie par 5 puis on soustrait 3, enfin on multiplie les deux résultats obtenus.
  1. Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l'arrivée est 112.
  2. Quel est le résultat obtenu à l'arrivée quand on choisit $ -3 $ comme nombre de départ ?

  3. On choisit $ x $ comme nombre de départ. Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d'exprimer le résultat à l'arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n'est demandée.

    Expression A Expression B Expression C Expression D
    $ (x + 2 \times 4)(x \times 5 - 3) $ $ (4x + 2)(5x - 3) $ $ (4x + 8)(5x - 3) $ $ (x + 2) \times 4 \times (5x - 3) $
  4. Trouver les deux nombres de départ qui permettent d'obtenir 0 à l'arrivée. Expliquer la démarche.
  5. Développer et réduire l'expression B.

Corrigé

  1. On applique le programme à partir de 2 :

    Branche de gauche : $ 2 + 2 = 4 $, puis $ 4 \times 4 = 16 $.

    Branche de droite : $ 2 \times 5 = 10 $, puis $ 10 - 3 = 7 $.

    Multiplication finale : $ 16 \times 7 = 112 $.

    Le résultat à l'arrivée est bien 112.

  2. On applique le programme à partir de $ -3 $ :

    Branche de gauche : $ -3 + 2 = -1 $, puis $ -1 \times 4 = -4 $.

    Branche de droite : $ -3 \times 5 = -15 $, puis $ -15 - 3 = -18 $.

    Multiplication finale : $ (-4) \times (-18) = 72 $.

    Le résultat à l'arrivée est 72.

  3. On exprime le résultat en fonction de $ x $ :

    Branche de gauche : $ x + 2 $ puis $ \times 4 $ donne $ 4(x + 2) = 4x + 8 $.

    Branche de droite : $ 5x $ puis $ - 3 $ donne $ 5x - 3 $.

    Résultat : $ (4x + 8)(5x - 3) $, qui s'écrit aussi $ 4(x + 2)(5x - 3) $.

    Les expressions C et D conviennent.

    (L'expression A est égale à $ (x + 8)(5x - 3) $ et l'expression B à $ (4x + 2)(5x - 3) $ : aucune des deux ne correspond au programme.)

  4. D'après la question précédente, le résultat à l'arrivée s'écrit $ (4x + 8)(5x - 3) $.

    On cherche $ x $ tel que $ (4x + 8)(5x - 3) = 0 $.

    C'est une équation produit nul : un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.

    $ 4x + 8 = 0 $ donne $ 4x = -8 $ puis $ x = -2 $.

    $ 5x - 3 = 0 $ donne $ 5x = 3 $ puis $ x = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 $.

    Les deux nombres de départ qui donnent 0 à l'arrivée sont $ -2 $ et $ 0{,}6 $.

  5. On développe l'expression B en utilisant la double distributivité :

    $ (4x + 2)(5x - 3) = 4x \times 5x + 4x \times (-3) + 2 \times 5x + 2 \times (-3) $

    $ \phantom{(4x + 2)(5x - 3)} = 20x^2 - 12x + 10x - 6 $

    $ (4x + 2)(5x - 3) = 20x^2 - 2x - 6 $