Calcul littéral – Deux programmes de calcul – Brevet Amérique du Nord 2025
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On considère les deux programmes de calcul suivants :
- Montrer que, lorsque le nombre choisi est 4, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
- Montrer que, lorsque le nombre choisi est $ -2 $, le résultat obtenu avec le programme A est 5.
Justifier que l'affirmation suivante est vraie :
« Le programme A donne toujours le même résultat. »- Lorsque le nombre choisi est 10, quel résultat obtient-on avec le programme B ?
- Il existe exactement deux nombres pour lesquels les programmes A et B fournissent à chaque fois des résultats identiques. Quels sont ces deux nombres ?
Corrigé
On applique le programme A en partant de 4 :
$ 4 \times 3 = 12 $, puis $ 12 + 15 = 27 $, puis $ 27 \div 3 = 9 $, et enfin $ 9 - 4 = 5 $.
Le résultat est bien 5.
On applique le programme A en partant de $ -2 $ :
$ -2 \times 3 = -6 $, puis $ -6 + 15 = 9 $, puis $ 9 \div 3 = 3 $, et enfin $ 3 - (-2) = 5 $.
Le résultat est bien 5.
On choisit un nombre quelconque $ x $ et on applique le programme A étape par étape :
$ x \;\xrightarrow{\times 3}\; 3x \;\xrightarrow{+15}\; 3x + 15 \;\xrightarrow{\div 3}\; \dfrac{3x + 15}{3} = x + 5 \;\xrightarrow{-\,x}\; (x + 5) - x = 5. $
Quel que soit le nombre $ x $ choisi au départ, le résultat est égal à 5.
L'affirmation est donc vraie : le programme A renvoie toujours 5.
On applique le programme B en partant de 10 :
$ 10 - 1 = 9 $ (branche de gauche), $ 10 - 6 = 4 $ (branche de droite).
Multiplication : $ 9 \times 4 = 36 $.
Addition : $ 36 + 5 = 41 $.
Avec le programme B et le nombre 10, on obtient 41.
On note $ x $ le nombre choisi. D'après la question 3, le programme A renvoie toujours 5.
Pour le programme B, le résultat est $ (x - 1)(x - 6) + 5 $.
On cherche les valeurs de $ x $ pour lesquelles ces deux résultats sont égaux :
$ (x - 1)(x - 6) + 5 = 5 $
$ (x - 1)(x - 6) = 0 $
C'est une équation produit nul : un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
$ x - 1 = 0 $ donne $ x = 1 $, et $ x - 6 = 0 $ donne $ x = 6 $.
Les deux nombres recherchés sont donc 1 et 6.
Remarque
On peut vérifier : pour $ x = 1 $, le programme B donne $ 0 \times (-5) + 5 = 5 $ ; pour $ x = 6 $, il donne $ 5 \times 0 + 5 = 5 $. Les deux résultats valent bien 5, comme le programme A.