Calcul d’aire – Fonction – Brevet Métropole 2013

Durée estimée

10 minutes

Difficulté

Avec un logiciel :

on a construit un carré ABCD, de côté 4 cm.
on a placé un point M mobile sur [AB] et construit le carré MNPQ comme visualisé sur la copie d'écran ci-contre.
on a représenté l'aire du carré MNPQ en fonction de la longueur AM.

On a obtenu le graphique ci-dessous.

En utilisant ce graphique répondre aux questions suivantes. Aucune justification n'est attendue.

Déterminer pour quelle(s) valeur(s) de AM, l'aire de MNPQ est égale à 10 cm².
Déterminer l'aire de MNPQ lorsque AM est égale à 0,5 cm.
Pour quelle valeur de AM, l'aire de MNPQ est-elle minimale ? Quelle est alors cette aire ?

Corrigé

Pour déterminer pour quelles valeurs de AM l'aire est égale à 10 cm², on cherche les points de la courbe ayant pour ordonnée 10.
Graphiquement, on constate que la droite horizontale passant par l'ordonnée 10 coupe la courbe en deux points d'abscisses respectives 1 et 3.

L'aire de MNPQ est égale à 10 cm² pour $ AM = 1 $ cm et $ AM = 3 $ cm.
Pour déterminer l'aire lorsque $ AM = 0{,}5 $ cm, on cherche l'image de 0,5 par la fonction.
Sur le graphique, le point de la courbe d'abscisse 0,5 a pour ordonnée 12,5.

Lorsque $ AM = 0{,}5 $ cm, l'aire de MNPQ est de $ 12{,}5 $ cm².
L'aire minimale correspond au point le plus bas de la courbe (le minimum de la fonction).
Graphiquement, le point le plus bas a pour coordonnées $(2~;~8)$.

L'aire de MNPQ est minimale pour $ AM = 2 $ cm. Cette aire minimale est alors de $ 8 $ cm².