Tracer une spirale carrée
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On souhaite tracer une spirale carrée dans Scratch. Le principe est le suivant : le lutin trace un segment, tourne de $ 90° $, puis trace un segment un peu plus long, et ainsi de suite.
Voici le programme proposé :
Voici le début de la spirale obtenue avec ce programme (les nombres indiquent la longueur de chaque segment en pas) :
Recopier et compléter le tableau suivant pour les 6 premiers passages dans la boucle :
Passage Longueur du segment tracé Longueur après ajout 1 ... ... 2 ... ... 3 ... ... 4 ... ... 5 ... ... 6 ... ... - Exprimer la longueur du segment tracé au $ k $-ième passage dans la boucle, en fonction de $ k $.
- Quelle est la longueur du dernier segment tracé (au 12e passage) ?
- Calculer la longueur totale parcourue par le lutin (somme de tous les segments tracés).
- Modifier le programme pour obtenir une spirale triangulaire. Préciser la valeur de l'angle de rotation et dessiner l'allure de la figure obtenue sur les 6 premiers segments.
Corrigé
À chaque passage, le lutin avance de la longueur courante, puis la longueur augmente de 10.
Passage Longueur du segment tracé Longueur après ajout 1 20 30 2 30 40 3 40 50 4 50 60 5 60 70 6 70 80 Au premier passage, la longueur est 20. À chaque passage suivant, elle augmente de 10. Au $ k $-ième passage, la longueur est :
$\mathbf{\ell_k = 20 + (k - 1) \times 10 = 10k + 10}$On vérifie : pour $ k = 1 $, $ \ell_1 = 10 + 10 = 20 $. Pour $ k = 2 $, $ \ell_2 = 20 + 10 = 30 $. Les valeurs correspondent au tableau.
- Au 12e passage :
$ \ell_{12} = 10 \times 12 + 10 = 130 $
Le dernier segment mesure 130 pas. La longueur totale est la somme de tous les segments :
$ S = 20 + 30 + 40 + 50 + 60 + 70 + 80 + 90 + 100 + 110 + 120 + 130 $On regroupe les termes par paires symétriques :
$ S = (20 + 130) + (30 + 120) + (40 + 110) + (50 + 100) + (60 + 90) + (70 + 80) $
$ S = 150 \times 6 = 900 $La longueur totale parcourue est de 900 pas.
Une spirale triangulaire s'enroule autour d'un triangle. Comme pour les polygones réguliers, l'angle de rotation est :
$ 360 \div 3 = 120 $
On remplace donc « tourner de 90 degrés » par « tourner de 120 degrés ».Voici l'allure de la figure obtenue sur les 6 premiers segments :
Pour réviser : Dessiner une figure géométrique avec Scratch