Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Scratch et algorithmes Exercices

Digicode et probabilités – Brevet Centres étrangers 2025

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

Un digicode commande l'ouverture de la porte d'entrée de la maison de la grand-mère de Léna.
Léna a oublié le code. Elle sait qu'il est composé d'une lettre A, B, ou C, suivie d'un chiffre compris entre 0 et 9.

  1. Proposer deux codes différents que Léna peut tester.
  2. Quelle est la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi la lettre C dans son code ?
  3. Montrer que la probabilité que la grand-mère de Léna ait choisi le chiffre 7 dans son code est $ \dfrac{1}{10} $.
  4. Léna se souvient que sa grand-mère, enseignante de mathématiques à la retraite, aime bien les nombres premiers. Quelle est la probabilité que le code choisi par sa grand-mère comporte un nombre premier ?
    1. Léna décide de tester tous les codes possibles. Elle estime qu'il lui faut 5 secondes pour essayer un code. Réussira-t-elle à ouvrir la porte de la maison en moins de 3 minutes ?
    2. Le format de ce code garantit-il la sécurité de la maison ? Comment pourrait-on améliorer ce système de code ?

  6. Chaque fois qu'un utilisateur saisit un code, un programme lui annonce si le code est correct ou faux. Le programme utilisé est noté ci-dessous.

    Programme Scratch : quand drapeau cliqué, demander Saisir une lettre parmi A B et C et attendre, mettre lettre saisie à réponse, demander Saisir un nombre entre 0 et 9 et attendre, mettre chiffre saisi à réponse, si lettre saisie = B et chiffre saisi = 7 alors dire Code correct pendant 2 secondes sinon dire Code faux pendant 2 secondes
    1. Léna saisit le code B5. Qu'affiche le programme ?
    2. D'après ce programme, quel est le code qui permet d'entrer dans l'immeuble de la grand-mère de Léna ?

Corrigé

  1. On peut proposer par exemple A3 et C8.

    (Tout code formé d'une lettre parmi A, B, C suivie d'un chiffre de 0 à 9 convient.)

  2. Il y a 3 lettres possibles (A, B et C) et chacune a la même probabilité d'être choisie.

    La probabilité que la grand-mère ait choisi la lettre C est $\mathbf{\dfrac{1}{3}}$.

  3. Il y a 10 chiffres possibles (de 0 à 9) et chacun a la même probabilité d'être choisi.

    La probabilité que le chiffre soit 7 vaut donc :

    $ \dfrac{1}{10} $

  4. Les nombres premiers compris entre 0 et 9 sont : 2, 3, 5 et 7. Il y en a 4.

    La probabilité que le code comporte un nombre premier est $\mathbf{\dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}}$.

    1. Le nombre total de codes possibles est :
      $ 3 \times 10 = 30 $

      Le temps nécessaire pour tester tous les codes est :
      $ 30 \times 5 = 150 $ secondes

      Or $ 3 $ minutes $ = 180 $ secondes. Comme $ 150 < 180 $, Léna aura le temps de tester tous les codes en moins de 3 minutes.

      Oui, elle réussira à ouvrir la porte en moins de 3 minutes.

    2. Ce format de code ne garantit pas la sécurité de la maison car il n'y a que 30 codes possibles, ce qui est très peu. On pourrait améliorer le système en augmentant le nombre de caractères du code (par exemple 4 chiffres au lieu d'une lettre et un chiffre), en utilisant un clavier complet (26 lettres et 10 chiffres), ou en bloquant l'accès après un certain nombre de tentatives.

    1. Léna saisit la lettre B puis le chiffre 5. Le programme teste si « lettre saisie = B et chiffre saisi = 7 ». Ici, la lettre est bien B, mais le chiffre est 5 (et non 7). La condition « et » n'est donc pas vérifiée.

      Le programme affiche « Code faux ».

    2. D'après la condition du programme (lettre saisie = B et chiffre saisi = 7), le code qui permet d'entrer est B7.