Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Logo maths-cours.fr maths-cours.fr
Connexion Inscription
Théorème de Thalès Exercices

Concurrence de droites dans deux carrés

Durée estimée
15 minutes
Difficulté
Votre progression

Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.

Créer un compte

Objectif travaillé

Soient $a$ et $b$ deux longueurs telles que $b < a$. On considère la figure ci-dessous, où $ABCD$ est un carré de côté $a$, $BEFG$ est un carré de côté $b$, et $G$ appartient au segment $[BC]$.

Deux carrés ABCD et BEFG construits au-dessus du segment AE, avec G sur le segment BC
  1. La droite $(AF)$ coupe la droite $(BC)$ en un point $P$. Exprimer la longueur $BP$ en fonction de $a$ et $b$.
  2. La droite $(DE)$ coupe la droite $(BC)$ en un point $Q$. Exprimer la longueur $BQ$ en fonction de $a$ et $b$.
  3. On note $I$ le point d'intersection des droites $(AF)$ et $(DE)$. Montrer que $I$ appartient à la droite $(BC)$.

Corrigé

  1. Dans le triangle $AEF$, les droites $(BC)$ et $(EF)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AE)$, donc $(BP)$ est parallèle à $(EF)$.
    Le point $B$ appartient au segment $[AE]$ et le point $P$ appartient au segment $[AF]$.
    D'après le théorème de Thalès :

    $\dfrac{BP}{EF} = \dfrac{AB}{AE}$

    On a $AE = AB + BE = a + b$ et $EF = BE = b$ (côté du carré $BEFG$), donc :

    $BP = \dfrac{a}{a + b} \times b = \mathbf{\dfrac{ab}{a + b}}$

  2. Dans le triangle $DAE$, les droites $(BC)$ et $(DA)$ sont toutes deux perpendiculaires à $(AE)$, donc $(BQ)$ est parallèle à $(DA)$.
    Le point $B$ appartient au segment $[AE]$ et le point $Q$ appartient au segment $[DE]$.
    D'après le théorème de Thalès :

    $\dfrac{BQ}{DA} = \dfrac{BE}{AE}$

    On a $DA = AB = a$ (côté du carré $ABCD$), donc :

    $BQ = \dfrac{b}{a + b} \times a = \mathbf{\dfrac{ab}{a + b}}$

  3. On a trouvé $BP = BQ = \dfrac{ab}{a + b}$. Les points $P$ et $Q$ sont tous les deux situés sur la demi-droite $[BC)$, à la même distance de $B$.
    Donc $\mathbf{P = Q}$ : les droites $(AF)$ et $(DE)$ se coupent en un même point de la droite $(BC)$.

    Le point $I$, intersection de $(AF)$ et $(DE)$, est donc ce point commun. $\mathbf{I}$ appartient bien à la droite $(BC)$, quelle que soit la valeur de $a$ et $b$.