Vrai/Faux : Raisonnement par récurrence

On souhaite démontrer par récurrence qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Affirmation : Une démonstration par récurrence comporte deux étapes obligatoires : l'initialisation et l'hérédité.

Affirmation : Si l'hérédité est vérifiée pour tout $n \geqslant 0$, alors la propriété est vraie pour tout entier naturel, même sans initialisation.

On veut démontrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $P(n) : 1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

Affirmation : L'initialisation doit obligatoirement être faite au rang $n = 0$.

On effectue l'hérédité d'une récurrence sur la propriété $P(n)$.

Affirmation : Pour démontrer l'hérédité, on suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n$ fixé, et on démontre que $P(n+1)$ est vraie.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. On souhaite démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n > 0$.

Affirmation : Pour l'initialisation, il suffit de constater que $u_0 = 2 > 0$.

On démontre par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $P(n) : 3^n \geqslant 1 + 2n$.

Affirmation : Dans l'étape d'hérédité, écrire « Comme $P(n)$ est vraie pour tout $n$, alors… » constitue une rédaction correcte.