QCM : Démonstration par récurrence
Créez un compte gratuit pour suivre votre avancement et reprendre où vous avez laissé.
Créer un compteObjectif travaillé
Ce QCM porte sur le raisonnement par récurrence : étapes, vocabulaire et application à des suites définies par récurrence. Choisir la bonne réponse parmi les 4 propositions.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Question 1 : Dans une démonstration par récurrence, les trois étapes successives sont :
- (Incorrect) hypothèse, théorème, vérification
- (Correct) initialisation, hérédité, conclusion
- (Incorrect) initialisation, calcul, conclusion
- (Incorrect) base, induction, démonstration directe
Question 2 : Pour montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $1+2+\dots+n = \dfrac{n(n+1)}{2}$, l'initialisation au rang $n=1$ consiste à vérifier l'égalité :
- (Incorrect) $1+2 = \dfrac{1 \times 2}{2}$
- (Correct) $1 = \dfrac{1 \times 2}{2}$
- (Incorrect) $1 = \dfrac{2 \times 3}{2}$
- (Incorrect) $\dfrac{1 \times 2}{2} = 0$
Question 3 : On veut démontrer par récurrence que $P(n) : u_n = 3^n + 1$ avec $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 3u_n - 2$. L'hypothèse de récurrence est :
- (Incorrect) $u_0 = 2$
- (Incorrect) pour tout entier $n \geqslant 0$, $u_n = 3^n + 1$
- (Correct) il existe un entier $n \geqslant 0$ tel que $u_n = 3^n + 1$
- (Incorrect) $u_{n+1} = 3^{n+1} + 1$
Question 4 : Avec $u_0 = 2$, $u_{n+1} = 3u_n - 2$ et l'hypothèse de récurrence $u_n = 3^n + 1$, le calcul de $u_{n+1}$ donne :
- (Correct) $u_{n+1} = 3 \times (3^n + 1) - 2 = 3^{n+1} + 1$
- (Incorrect) $u_{n+1} = 3 \times 3^n - 2 = 3^{n+1} - 2$
- (Incorrect) $u_{n+1} = 3 \times (3^n + 1) = 3^{n+1} + 3$
- (Incorrect) $u_{n+1} = 3^{n+1} + 1 - 2 = 3^{n+1} - 1$
Question 5 : Si l'on omet l'étape d'initialisation dans une démonstration par récurrence, alors :
- (Incorrect) la démonstration reste valide car l'hérédité suffit
- (Incorrect) la conclusion est vraie à partir du rang $1$
- (Correct) l'hérédité peut être vraie sans que la propriété soit jamais vérifiée
- (Incorrect) la propriété est nécessairement fausse
Question 6 : Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$. On conjecture $u_n = 2^{n+1} - 1$. L'étape d'hérédité consiste à démontrer que :
- (Incorrect) si $u_n = 2^{n+1} - 1$ alors $u_0 = 1$
- (Incorrect) si $u_{n+1} = 2u_n + 1$ alors $u_n = 2^{n+1} - 1$
- (Correct) si $u_n = 2^{n+1} - 1$ alors $u_{n+1} = 2^{n+2} - 1$
- (Incorrect) $u_{n+1} = 2^{n+1} - 1$ donc $u_n = 2^n - 1$