La voile de bateau
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Une voile de bateau a la forme d'un triangle $PMW$. Pour la renforcer, on coud une bande de tissu le long du segment $[CT]$, parallèle à la base $[MW]$.
On donne : $PM = 6$ m, $PW = 4{,}5$ m, $MW = 3{,}6$ m et $PC = 2$ m.
Le point $C$ est sur $[PM]$ et le point $T$ est sur $[PW]$.
Calculer les longueurs $PT$ et $CT$.
Déroulement pas à pas (Correction et Indices)
Étape 1 : Les points $P$, $C$, $M$ sont alignés et les points $P$, $T$, $W$ sont alignés. Les droites $(CT)$ et $(MW)$ sont parallèles.
Quelle propriété permet de calculer les longueurs manquantes ?
- (Correct) Le théorème de Thalès
- (Incorrect) Le théorème de Pythagore
- (Incorrect) La réciproque du théorème de Thalès
Étape 2 : Parmi ces égalités de rapports, laquelle est donnée par le théorème de Thalès ?
- (Incorrect) $\dfrac{PC}{CM} = \dfrac{PT}{TW} = \dfrac{CT}{MW}$
- (Correct) $\dfrac{PC}{PM} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$
- (Incorrect) $\dfrac{PM}{PC} = \dfrac{PT}{PW} = \dfrac{CT}{MW}$
Étape 3 : Calculer la longueur $PT$.
$PT = $ [[pt]] m
Étape 4 : Calculer la longueur $CT$ (longueur de tissu nécessaire).
$CT = $ [[ct]] m
Étape 5 : On place maintenant un point $D$ sur $[PM]$ avec $PD = 4$ m et un point $E$ sur $[PW]$ avec $PE = 3$ m.
Les droites $(DE)$ et $(MW)$ sont-elles parallèles ? Pour le déterminer, calculer $\dfrac{PD}{PM}$.
$\dfrac{PD}{PM} = $ [[r1]]
Étape 6 : On a $\dfrac{PD}{PM} = \dfrac{2}{3}$.
De plus, $\dfrac{PE}{PW} = \dfrac{3}{4{,}5} = \dfrac{30}{45} = \dfrac{2}{3}$.
Les points $P$, $D$, $M$ et $P$, $E$, $W$ sont alignés dans le même ordre, et les deux rapports sont égaux. Que peut-on conclure ?
- (Incorrect) On ne peut pas conclure
- (Correct) $(DE) /\!/ (MW)$ d'après la réciproque du théorème de Thalès
- (Incorrect) $(DE)$ n'est pas parallèle à $(MW)$